Задание 1-20
Пример 1. 
Пример 2. 
Здесь применима теорема о пределе частного. К этому же выражению при х® 
теорема о пределе неприменима, т. к. 
и 
.
представляет собой неопределенность вида 
.
Разложим на множители квадратный трехчлен.
9 х 2+8 х –1=9·(х – )·(х +1).Для этого достаточно найти корни х 1 и х 2 квадратного трехчлена
ах 2+ bх + с = а (х – х 1)·(х – х 2).
Под знаком предела сократим одинаковые множители и перейдем к пределу:
Пример 3. 
.
Обнаружив неопределенность 
(так это в примере и записывают), раскладываем многочлены в числителе и в знаменателе на множители.
Сократив на х –1, получили дробь 
, числитель которой стремится к конечному пределу, отличному от нуля (
), а знаменатель при х ®1 является бесконечно малой, тогда дробь при х®1 является бесконечно большой.
Пример 4. 
.
Решение. Здесь числитель и знаменатель не имеют конечных пределов, имеем неопределенность 
. Поделив одновременно числитель и знаменатель на х 3, получим
, т. к. каждая из дробей 
является бесконечно малой и стремится к нулю.
Пример 5. 
Решение.
, так как
.
Для раскрытия неопределенности следует числитель и знаменатель разделить на одну и ту же старшую степень переменной.
Пример 6. 
Решение.
В этом примере нужно было избавиться от радикалов, для чего умножили и числитель и знаменатель на сумму – сопряженное числителю выражение. Применив формулу разности квадратов в числителе, мы избавились от радикалов:
.
Задание 21-40. Найти производные функций.
Пример 1: 
Решение: 
+
.
При вычислении производной использовали правило и формулы дифференцирования: 
; 
; 
; 
; 
.
Пример 2: 
Решение:
При вычислении производной использовали правила и формулы дифференцирования:
; ; 
; ; .
Пример 3: 
Решение: вычислим производную сложной степенной функции, применив формулу дифференцирования 
, получим
Пример 4: 
Решение: вычислим производную сложной тригонометрической функции, применив формулу дифференцирования 
, получим
Задание 41-60: Исследовать функцию и построить ее график
Пример: Исследовать функцию и построить ее график:
.
Решение:
1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения 
.
2) Найдем точки пересечения с осями координат:
с осью ОХ: решим уравнение 
.
с осью ОY: 
3) Выясним, не является ли функция четной или нечет
ной:
.
Отсюда следует, что функция является нечетной.
4) Функция непериодическая.
5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: 
.
Критические точки: 
.
| 
| -1 | 
| 1 | 
|
| + | 0 | - | 0 | + |
| т. max | т. min -2 |
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции: 
Критические точки: 
.
|
| 
| 0 | 
|
| - | 0 | + |
| точка перегиба |
7) Функция непрерывна, асимптот у нее нет.
По результатам исследования построим график функции:
Задание 61-80. Найти неопределенные интегралы и вычислить определенный интеграл:
Пример 1 а) Найти неопределенный интеграл:
.
Решение: 
=
= 
.
б) Найти неопределенный интеграл: 
.
Решение: 
= 
.
в) Найти неопределенный интеграл 
Решение: = 
Пример 2. а) Найти неопределенный интеграл 
Решение: 
= 
б) Найти неопределенный интеграл 
Решение: 
= 
в) Найти неопределенный интеграл 
Решение: 
= 
г) Найти неопределенный интеграл 
Решение: 
= 
= 
= 
.
Пример 3 а) Вычислить определенный интеграл методом замены переменной 
Решение: 
= 
.
б) Вычислить определенный интеграл: 
.
Решение: 
.
Задание 81-100. Сделать чертеж и с помощью определенного интеграла вычислить:
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Решение. Площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, образованных прямой 
и гиперболой 
на отрезке 
.
.
Пример 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
.
Решение. Используем формулу для нахождения объёма тел вращения: 
.
.
Таблица производных основных элементарных и сложных функций
х- независимая переменная, u=u(x)-дифференцируемая функция
1.1. 
1.2. 
1.3. 
1.4 
1.5. 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
1.10  
1.11  
1.12 
1.13 
1.14 
1.15 
|
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
2.6  
2.7  
2.8 
2.9 
2.10  
2.11  
2.12 
2.13 
2.14 
2.15 
|
Таблица интегралов
1. 
2. 
3. 
6. 
7. 
 
|
4. 
5. 
8. 
9. 
  
|
Контрольная работа
«Основы математического анализа»
Задание 1-20. Вычислить пределы функций:
1. а) 
б) 
в) 
2. а) 
б) 
в) 
3. а) 
б) 
в) 
4. а) 
б) 
в) 
5. а) 
б) 
в) 
6. а) 
б) 
в) 
7. а) 
б) 
в) 
8. а) 
б) 
в) 
9. а) 
б) 
в) 
10. а) 
б) 
в) 
11. а) 
б) 
в) 
12. а) 
б) 
в) 
13. а) 
б) 
в) 
14. а) 
б) 
в) 
15. а) 
б) 
в) 
16. а) 
б) 
в) 
17. а) 
б) 
в) 
18. а) 
б) 
в) 
19. а) 
б) 
в) 
20. а) 
б) 
в) 
Задание 21-40. Найти производные функций.
21. а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
22. а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
.
23. а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
24. а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
25. а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
26. а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
.
27. а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
28. а) 
, б) 
, в) 
,
г). 
.
29. а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
30. а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
31. а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
32. а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
.
33. а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
34. а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
.
35. а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
36. а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
.
37. а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
38. а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
.
39. а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
40. а) 
, б) 
, в) 
,
г) 
.
Задание 41-60: Исследовать функцию и построить ее график:
61. 
62. 
63. 
64. 
65. 
66. 
67. 
68. 
69. 
70. 
71. 
72. 
73. 
74.
75. 
76. 
77. 
78. 
79. 
80. 
Задание 61-80. Найти неопределенные интегралы и вычислить определенный интеграл:
61. а) 
б) 
в) 
62. а) 
б) 
в) 
63. а) 
б) 
в) 
64. а) 
б) 
в) 
65. а) 
б) 
в) 
66. а) 
б) 
в) 
67. а) 
б) 
в) 
68. а) 
б) 
в) 
69. а) 
б) 
в) 
70. а) 
б) 
в) 
71. а) 
б) 
в) 
72. а) 
б) 
в) 
73. а) 
б) 
в) 
74. а) 
б) 
в) 
75. а) 
б) 
в) 
76. а) 
б) 
в) 
77. а) 
б) 
в) 
78. а) 
б) 
в) 
79. а) 
б) 
в) 
80. а) 
б) 
в) 
Задание 81-100. Сделать чертеж и с помощью определенного интеграла
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями ;
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
. - Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
. - Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
. - Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
. - Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
. - Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями .
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями .
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями
. - Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями.
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями.
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями.
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями.
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями.
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями.
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями.
