Задание 1-20
Пример 1.
Пример 2.
Здесь применима теорема о пределе частного. К этому же выражению при х® теорема о пределе неприменима, т. к.
и
.
представляет собой неопределенность вида
.
Разложим на множители квадратный трехчлен.
9 х 2+8 х –1=9·(х – )·(х +1).Для этого достаточно найти корни х 1 и х 2 квадратного трехчлена
ах 2+ bх + с = а (х – х 1)·(х – х 2).
Под знаком предела сократим одинаковые множители и перейдем к пределу:
Пример 3. .
Обнаружив неопределенность (так это в примере и записывают), раскладываем многочлены в числителе и в знаменателе на множители.
Сократив на х –1, получили дробь , числитель которой стремится к конечному пределу, отличному от нуля (
), а знаменатель при х ®1 является бесконечно малой, тогда дробь при х®1 является бесконечно большой.
Пример 4. .
Решение. Здесь числитель и знаменатель не имеют конечных пределов, имеем неопределенность . Поделив одновременно числитель и знаменатель на х 3, получим
, т. к. каждая из дробей
является бесконечно малой и стремится к нулю.
Пример 5.
Решение.
, так как
.
Для раскрытия неопределенности следует числитель и знаменатель разделить на одну и ту же старшую степень переменной.
Пример 6.
Решение.
В этом примере нужно было избавиться от радикалов, для чего умножили и числитель и знаменатель на сумму – сопряженное числителю выражение. Применив формулу разности квадратов в числителе, мы избавились от радикалов:
.
Задание 21-40. Найти производные функций.
Пример 1:
Решение:
+
.
При вычислении производной использовали правило и формулы дифференцирования: ;
;
;
;
.
Пример 2:
Решение:
При вычислении производной использовали правила и формулы дифференцирования:
;
;
;
;
.
Пример 3:
Решение: вычислим производную сложной степенной функции, применив формулу дифференцирования , получим
Пример 4:
Решение: вычислим производную сложной тригонометрической функции, применив формулу дифференцирования , получим
Задание 41-60: Исследовать функцию и построить ее график
Пример: Исследовать функцию и построить ее график:
.
Решение:
1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения .
2) Найдем точки пересечения с осями координат:
с осью ОХ: решим уравнение
.
с осью ОY:
3) Выясним, не является ли функция четной или нечет
ной:
.
Отсюда следует, что функция является нечетной.
4) Функция непериодическая.
5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: .
Критические точки: .
![]() | ![]() | -1 | ![]() | 1 | ![]() |
![]() | + | 0 | - | 0 | + |
![]() | т. max | т. min -2 |
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:
Критические точки: .
![]() | ![]() | 0 | ![]() |
![]() | - | 0 | + |
![]() | точка перегиба |
7) Функция непрерывна, асимптот у нее нет.
По результатам исследования построим график функции:
Задание 61-80. Найти неопределенные интегралы и вычислить определенный интеграл:
Пример 1 а) Найти неопределенный интеграл:
.
Решение: =
=
.
б) Найти неопределенный интеграл: .
Решение: =
.
в) Найти неопределенный интеграл
Решение: =
Пример 2. а) Найти неопределенный интеграл
Решение: =
б) Найти неопределенный интеграл
Решение:
=
в) Найти неопределенный интеграл
Решение: =
г) Найти неопределенный интеграл
Решение: =
= =
.
Пример 3 а) Вычислить определенный интеграл методом замены переменной
Решение: =
.
б) Вычислить определенный интеграл: .
Решение:
.
Задание 81-100. Сделать чертеж и с помощью определенного интеграла вычислить:
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Решение. Площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, образованных прямой и гиперболой
на отрезке
.
.
Пример 2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
.
Решение. Используем формулу для нахождения объёма тел вращения: .
.
Таблица производных основных элементарных и сложных функций
х- независимая переменная, u=u(x)-дифференцируемая функция
1.1. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
2.2 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Таблица интегралов
1. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
4. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Контрольная работа
«Основы математического анализа»
Задание 1-20. Вычислить пределы функций:
1. а) б)
в)
2. а) б)
в)
3. а) б)
в)
4. а) б)
в)
5. а) б)
в)
6. а) б)
в)
7. а) б)
в)
8. а) б)
в)
9. а) б)
в)
10. а) б)
в)
11. а) б)
в)
12. а) б)
в)
13. а) б)
в)
14. а) б)
в)
15. а) б)
в)
16. а) б)
в)
17. а) б)
в)
18. а) б)
в)
19. а) б)
в)
20. а) б)
в)
Задание 21-40. Найти производные функций.
21. а) , б)
, в)
, г)
.
22. а) , б)
, в)
,
г) .
23. а) , б)
, в)
, г)
.
24. а) , б)
, в)
, г)
.
25. а) , б)
, в)
, г)
.
26. а) , б)
, в)
,
г) .
27. а) , б)
, в)
, г)
.
28. а) , б)
, в)
,
г). .
29. а) , б)
, в)
, г)
.
30. а) , б)
, в)
, г)
.
31. а) , б)
, в)
, г)
.
32. а) , б)
, в)
,
г) .
33. а) , б)
, в)
, г)
.
34. а) , б)
, в)
,
г) .
35. а) , б)
, в)
, г)
.
36. а) , б)
, в)
,
г) .
37. а) , б)
, в)
, г)
.
38. а) , б)
, в)
,
г) .
39. а) , б)
, в)
, г)
.
40. а) , б)
, в)
,
г) .
Задание 41-60: Исследовать функцию и построить ее график:
61. 62.
63. 64.
65. 66.
67. 68.
69. 70.
71. 72.
73. 74.
75. 76.
77. 78.
79. 80.
Задание 61-80. Найти неопределенные интегралы и вычислить определенный интеграл:
61. а) б)
в)
62. а) б)
в)
63. а) б)
в)
64. а) б)
в)
65. а) б)
в)
66. а) б)
в)
67. а) б)
в)
68. а) б)
в)
69. а) б)
в)
70. а) б)
в)
71. а) б)
в)
72. а) б)
в)
73. а) б)
в)
74. а) б)
в)
75. а) б)
в)
76. а) б)
в)
77. а) б)
в)
78. а) б)
в)
79. а) б)
в)
80. а) б)
в)
Задание 81-100. Сделать чертеж и с помощью определенного интеграла
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
;
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями
.
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями
.
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями
.
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями.
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями.
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями.
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями.
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями.
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями.
- Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями.