Тема 2.2. Дифференциальные уравнения2 порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка в общем случае имеют вид: .

Дифференциальные уравнения вида y″ = f(x) решаются двукратным интегрированием.

Полагая y′ = z, имеем y″ = z′ или z′ = f(x), = f(x), dz = f(x)dx.

Интегрируя , получим z = F(x) + C_1.

Возвращаясь к функции y, имеем

, .

- это есть общее решение уравнения

y″ = f(x).

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнения вида , где p и q– постоянные величины, называются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для отыскания общего решения такого уравнения составляется характеристическое уравнение ,

которое решается как квадратное уравнение. При его составлении в исходном уравнении производные функции y заменяются соответствующей степенью переменной k, причем сама функция y заменяется единицей.

Общее решение исходного дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней и .

Возможны три случая:

1) и – действительные и различные, тогда

;

2) и – действительные и равные, тогда и

;

3) и – комплексно-сопряженные: , ,

тогда .

Контрольные вопросы:

1. Привести пример дифференциального уравнения второго порядка.

2. Сколько начальных условий должно быть задано при нахождении частного решения дифференциального уравнения второго порядка?

3. Что называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

4. Запишите решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами для случая когда корни характеристического уравнения а) действительные и различные; б) комплексные.

Раздел 3. Ряды

Тема 3.1. Разложение функции в ряд

Степенным рядомназывается ряд вида

Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

 

2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х ¹ а.

 

Тогда между точками х и а найдется такая точка e, что справедлива формула:

 

 

- это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:

 

называется остаточным членом в форме Лагранж

Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.

При рассмотрении степенных рядов будет более подробно описаны некоторые особенности и условия разложения функции по формуле Тейлора.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой- либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.

Однако, выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно.

Т.е. чем больше по модулю значение разности (х – а) тем более точное значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора. Ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.

Контрольные вопросы:

1.Дайте определение степенного ряда.

2. Дайте формулировку теоремы Абеля.

3. Перечислите свойства степенных рядов.

4. Какой ряд называется рядом Маклорена?

5. Дайте определение ряда Тейлора.

6. Каковы необходимые и достаточные условия разложимости функции в степенной ряд?

7. Алгоритм разложения функции в ряд Маклорена, Тейлора

Раздел 4. Элементы аналитической геометрии

Тема 4.1. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка

Одним из важнейших в аналитической геометрии является вопрос об уравнении линии на плоскости.

Всякая линия есть множество точек плоскости, координаты которых должны быть связаны некоторым условием. Это условие записывается в виде уравнения.

Уравнение F(х, у)=0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀(х₀,у₀) перпендикулярно данному вектору = (А; В): А × (х – х_о) + В × (у – у₀) = 0

Уравнение прямой вида: А × х + В × у + С = 0 называют общим уравнением прямой, а коэффициенты при х и у задают нормальный вектор .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀(х₀, у₀) параллельно данному вектору =(m; n):

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂, у₂)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом у = k × x + b.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀(х₀, у₀) в заданном направлении у–у₀ = k × (х–х₀)

Угол между двумя прямыми

 

Уравнение второй степени с двумя переменными определяет на плоскости кривую второго порядка и притом единственную.

Такое уравнение имеет вид , где А,В,С≠0.

Окружностьюназывается множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром. Пусть центром окружности является точка О(а;в), а расстояние до любой точки М(х;у) окружности равно r.

Тогда

Эллипсомназывается множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы эллипса обозначают F₁ и F_2., расстояние между фокусами - через 2с, сумму расстояний от любой точки эллипса до фокусов – через 2а (2а>2с).

Каноническое уравнение эллипса имеет вид , где а, в,с связаны равенством

или ()

 

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большей оси. Обозначается ε: или . Так как по определению 2а>2с, то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью, т.е. в промежутке [0;1).

Если величина эксцентриситета приближается к 1(), то эллипс сильно вытянут; если же величина эксцентриситета ближе к 0 (), то эллипс имеет округлую форму. Если , то эллипс вырождается в окружность.

Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек есть величина постоянная. Простейшее (каноническое) уравнение гиперболы имеет вид:

Как видно, коэффициенты при х² и у² имеют разные знаки.

Числа а и b (а >0 и b>0) называются полуосямигиперболы.

Точки А₁(а,0), А₂(– а,0), В₁(0,b) и В₂(0,–b) называют вершинами гиперболы.

Построим прямоугольник со сторонами, проходящими через вершины А₁, А₂, В₁, В₂ параллельно координатным осям. Диагонали этого прямоугольника называют асимптотами гиперболы. Очевидно, уравнения асимптот и .

 

 

Контрольные вопросы:

1.Чем отличается уравнение прямой линии то уравнений других линий на плоскости?

2. Какие виды уравнений прямой на плоскости вы знаете? Запишите эти уравнения, укажите геометрический смысл их коэффициентов.

3. Как расположена прямая относительно системы координат, если в ее общем уравнении отсутствует: а) свободный член; б) одна из переменных; в) одна из переменных и свободный член? Обоснуйте выводы.

4. Запишите условия перпендикулярности и параллельности прямых, формулу для нахождения угла между прямыми.

5. Определение окружности, эллипса.

6. Напишите канонические уравнения окружности, эллипса и объясните смысл величин, входящих в эти уравнения.

7. Что характеризует эксцентриситет эллипса?

8. Написать уравнения директрис эллипса, объяснить смысл величин в этих уравнениях, показать расположение директрис эллипса на чертеже.

9. Дать определения гиперболы, параболы.

10. Напишите канонические уравнения гиперболы и параболы, объясните смысл величин, входящих в эти уравнения.

11. Напишите уравнения директрис, асимптот гиперболы, покажите на чертеже их расположение относительно гиперболы.

 

Тема 4.2. Прямоугольная система координат. Полярные координаты.

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.

В элементарной геометрии координаты — величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.

Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее луча ОЕ - полярной оси. Кроме того, задается единица масштаба для измерения длин отрезков.

Пусть дана полярная система координат и пусть М -произвольная точка плоскости. Пусть ρ-расстояние точки Мот точки О; φ – угол, на который нужно повернуть полярную ось для совмещения с лучом ОМ.

Полярными координатами точки М называются числа ρ и φ. При этом число ρ считается первой координатой и называется полярным радиусом, число φ – второй координатой и называется полярным углом.

 

Точка М с полярными координатами ρ и φ обозначается так: М(ρ; φ). Полярный радиус может принимать любое неотрицательное значение: 0 ≤ ρ< + ∞. Считают, что полярный угол изменяется в пределах: 0 ≤ φ < 2π. Порой требуется рассматривать углы большие 2π или отрицательные, т.е. углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

 

Установим связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами. При этом будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Пусть точка М имеет прямоугольные координаты х и у и полярные координаты

ρ и φ.

Тогда х = ρ cos φ, y = ρ sinφ.(1)

 

Данные формулы выражают прямоугольные координаты через полярные.

Выражение полярных координат через прямоугольные следует из формул (1):

Контрольные вопросы:

1. Дайте описание прямоугольной декартовой системы координат на плоскости, в пространстве.

2. Дайте определение координат точки в прямоугольной системе координат.

3. Дайте определение полярной системы координат.

4. Как связаны декартовы и полярные координаты точки на плоскости, если полюс совпадает с началом декартовой системы координат, а направление полярной оси – с положительным направлением оси абсцисс?