Примеры.
Частные производные высших порядков
Производные n -го порядка от основных элементарных функций Справедливы формулы
Формула Лейбница
Если u и v - n -кратно дифференцируемые функции, то
- производные от
по x и y.
Эти же производные можно записать и в другой форме:
Все эти производные являются частными производными второго порядка от функции f (x, y). От них можно опять взять производные. Например,
Пример 7. Найти частные производные 
и 
функции 
и убедиться в равенстве этих частных производных.
Решение:
; 
Как видно из решения, смешанные частные производные равны.
Пример 8. Для функции
вычислить частную производную 
Решение. Первое и второе дифференцирование производим по x:
а третье – по y:
Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,
f" (x) = (f' (x)) '.
Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n -й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,
f(n) (x) = (f(n-1) (x)) ', n ϵ N, f(0) (x) = f (x).
Число n называется порядком производной.
Дифференциалом n -го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,
dnf (x) = d (dn -1 f (x)), d 0 f (x) = f (x), n ϵ N.
Если x - независимая переменная, то dx = const и d 2 x = d 3 x =... = dnx = 0
.
В этом случае справедлива формула
dnf (x) = f (n)(x)(dx) n.
Вопрос. Дифференциал сложной функции нескольких переменных. Инвариантность формы записи дифференциала.
Дифференцирование сложной функции.
Теорема: Пусть 
и функции x = x (u, v) 
, y (u, v) 
= x (u0, v0), y 0 = y (u0, v0).
Тогда f (x (u, v), y (u, v)) D (u0, v0) и
Доказательство: Рассмотрим разности:
из которых следует, что
f (x (u, v), y (u, v)) - f (x (u0, v0), y (u0, v0)) = 
Следовательно, по определению дифференцируемости функция двух переменных:
f (x (u, v), y (u, v)) D (u0, v0) и
Теорема доказана.
Дифференциал функции двух переменных. Свойство инвариантности дифференциала.
Пусть .
Определение: Дифференциал d 
функции 
в точке 
называется следующее выражение:
или сокращённо: 
, где dx и dy – дифференциалы переменных x и y.
Пусть x = x (u, v) и y (u, v) .
Тогда по определению:
Следовательно, мы можем представить df в следующем виде:
Последнее равенство следует из доказанных формул замены переменных.
Таким образом df можно представить в виде:
Это равенство и выражает свойство инвариантности первого дифференциала.
Первые частные производные 
и 
есть функции от переменных x и y. Назовём по определению вторыми частными производными функции следующие выражения:
Пример:
Заметим, что 
= 
. Это свойство обобщается следующей теоремой.
Теорема: Пусть , и 
непрерывны в некоторой окрестности точки (x, y), а 
и непрерывны в самой точке (x, y). Тогда в точке (x, y) равенство:
=
Инвариантность формул первого дифференциала
Пусть существует сложная функция 
, и существует ее производная: 
. Считая y независимой переменной, получим формулу дифференциала: 
. Теперь, если считать y зависимой от x, получим: 
, т.к. 
. То есть получается, что формула дифференциала не зависит от типа переменной.
Не взирая на то, является ли переменная x зависимой или нет, для вычисления дифференциала используется единая формула - инвариантность формул.
Таблица дифференциалов
