Вопрос.Производные сложных функций нескольких переменных.(рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).Примеры.

1°. Случай одной независимой переменной. Если z=f(x,y) есть дифференцируемая

функция аргументов х и у, которые в свою очередь являются дифференцируемыми

функциями независимой переменной t: , то производная

сложной функции может быть вычислена по формуле

.

(1)

В частности, если t совпадает с одним из аргументов, например х, то "полная"

производная функции z по х будет:

.

(2)

Пример. Найти , если , где .

Решение. По формуле (1) имеем:

Пример. Найти частную производную и полную производную , если .

Решение. .

На основании формулы (2) получаем .

2 °. Случай нескольких независимых переменных.

Пусть z = f(x;y) — функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией

независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z=f(x(t);y(t)) является

сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у — промежуточные переменные.

Теорема. Если z == f (x; у) — дифференцируемая в точке М(х;у) D функция

и х = x(t) и у = y(t) — дифференцируемые функции независимой переменной t,

то производная сложной функции z(t) == f (x(t);y(t)) вычисляется по формуле

(3)

Частный случай: z = f(x; у), где у = у(х), т.е. z = f(x;y(x)) — сложная функция одной

независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной

t играет х. Согласно формуле (3) имеем:

или

.

Последняя формула носит название формулы полной производной.

Общий случай: z = f(x;y), где х = x(u;v), y=y(u;v). Тогда z = f{x(u;v);y(u;v)) — сложная

функция независимых переменных и и v. Ее частные производные и можно найти,

используя формулу (3) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней ,

соответствующими частными производными

(4)

Аналогично получаем:

(5)

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (и и v)

равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным

переменным (x и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

Во всех рассмотренных случаях справедлива формула

(свойство инвариантности полного дифференциала).

Пример. Найти и , если z= f (x,y), где x=uv, .

Решение. Применяя формулы (4) и (5), получим:

Пример. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение. Функция зависит от х и у через промежуточный аргумент , поэтому

Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь:

, т. е. функция z удовлетворяет данному уравнению.

Формула градиента

 

 

Вопрос. Производная неявной функции (Рассмотреть случаи одной и нескольких независимых переменных).Примеры