Вопрос.Понятие функции нескольких переменных

(Определение, область определения, область значений, график, линии уровня).Примеры

Функции нескольких переменных

1. Функция двух переменных и ее область определения

Определение. Переменная называется функцией двух переменных и , если: 1) задано множество пар численных значений и ; 2) задан закон, по которому каждой паре чисел из этого множества соответствует единственное численное значение. При этом переменные и называются аргументами или независимыми переменными. Обозначения функций двух переменных аналогичны обозначениям функций одной переменной: , , , и т.д. При нахождении частного значения функции , которое она принимает при заданных значениях аргументов и , пишут или . Определение. Множество всех пар значений аргументов данной функции двух переменных называется областью определения этой функции. Например, областью определения функции является множество, для которого . Множество таких точек образует внутренность круга с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Графиком функции двух переменных в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве является в общем случае поверхность. Линией уровня функции называется линия на плоскости , в точках которой функция сохраняет постоянное значение . Аналогично функция трех переменных.

Определение. Пусть имеется п переменных величин, и каждому набору их значений (х_х, х₂,..., х_п) из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной вели­чины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменныхz=f(х_х, х₂,..., х_п).

Переменные х_х, х₂,..., х_п называются независимыми переменными или аргументами, z — зависимой переменной, а символ f означа­ет закон соответствия. Множество X называется областью оп­ределения функции. Очевидно, это подмножество n-мерного пространства.

Функцию двух переменных обозначают z=f(x, у). Тогда ее область определения X есть подмножество ко­ординатной плоскости Оху.

Окрестностью точки называется круг, содержа­щий точку (см. рис. 1).

Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интерва­ла на прямой.

При изучении функций нескольких переменных используется математи­ческий аппарат: любой функции z=f(x, у) можно по­ставить в соответствие пару функций одной переменной: при фиксированном значении х=х₀ функцию z= и при фиксированном значении у=у₀ функцию z=f(x, у₀).

Графиком функции двух переменных z= называется множе­ство точек трехмерного пространства (х, у, z), аппликата z кото­рых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соот­ношением z= .

Для построения графика функции z=f(x, у) полезно рассмат­ривать функции одной переменной z=f(x, у₀) и z= , пред­ставляющие сечения графика z=f(x, у) плоскостями, парал­лельными координатным плоскостям Oxz и Oyz, т.е. плоскостями у= у₀ и х=х₀.

Пример 1. Построить график функции .

Решение. Сечения поверхности = плоскостями, параллельными координатным плос­костям Oyz и Oxz, пред­ставляют параболы (на­пример, при х = 0 , при у = 1 и т.д.). В се­чении поверхности кординатной плоско­стью Оху, т.е. плоско­стью z=0, получается окружность График функции представляет поверх­ность, называемую па­раболоидом (см. рис. 2)

Определение. Линией уровня функции двух переменных z=f{x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Число С в этом случае называется уровнем.

На рис.3 изображены линии уровня, соответствую­щие значениям С=1 и С=2. Как видно, линия уровня состо­ит из двух непересекающихся кривых. Линия – самопере­секающаяся кривая.

Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, паралле­ли и меридианы на глобусе — это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображе­нием изотерм — линий уровня температуры.

Пример 2. Построить линии уровня функции .

Решение. Линия уровня z=C это кривая на плоскости Оху, задаваемая уравнением х² + у² - 2 у = С или х² + (у - I)² = С+1. Это уравнение окружности с центром в точке (0; 1) и радиусом (рис. 4).

Точка (0; 1) — это вырожденная линия уровня, соответст­вующая минимальному значению функции z=-1 и достигаю­щемуся в точке (0; 1). Линии уровня — концентрические ок­ружности, радиус которых увеличивается с ростом z=C, при­чем расстояния между линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра. Линии уровня по­зволяют представить график данной функции, который был ранее построен на рис. 2.