Необходимое условие существования точки перегиба

Если x0 − точка перегиба функции f(x) и данная функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x0, причем в точке x0 она непрерывна, тоf′′(x0)=0.

Доказательство.
Предположим, что в точке перегиба x0 вторая производная не равна нулю: f′′(x0)≠0. Поскольку она непрерывна при x0, то

существует δ-окрестность точки x0, в которой вторая производная сохраняет свой знак, т.е.f′′(x0)<0илиf′′(x0)<0∀x∈(x0−δ,x0+δ).

В таком случае функция будет либо строго выпукла вверх (при f′′(x)<0), либо строго выпукла вниз (при f′′(x)>0). Но тогда точка x0 не является

точкой перегиба. Следовательно, предположение неверно и вторая производная в точке перегиба должна быть равна нулю.

Первое достаточное условие существования точки перегиба

Если функция f(x) непрерывна и дифференцируема в точке x0, имеет вторую производную f′′(x0) в некоторой проколотой

δ-окрестности точки x0 и если вторая производная меняет знак при переходе через точку x0, то x0 является точкой перегиба функции f(x).

Доказательство.
Пусть, например, вторая производная f′′(x) при переходе через точку x0 меняет знак с плюса на минус.

Следовательно, в левой δ-окрестности (x0−δ,x0) выполняется

неравенство f′′(x)>0, а в правой δ-окрестности (x0,x0+δ) справедливо неравенство f′′(x)<0

. В таком случае, согласно достаточным условиям выпуклости, функция f(x) выпукла вниз в левой δ-окрестности точки x0 и

выпукла вверх в правой δ-окрестности.
Следовательно, в точке x0 функция меняет направление выпуклости, т.е. c является, по определению,

точкой перегиба.

Второе достаточное условие существования

Точки перегиба

Пусть f′′(x0)=0, f′′′(x0)≠0. Тогда точка x0 является точкой перегиба функции f(x).

Доказательство.
Поскольку f′′′(x0)≠0, то вторая производная

в точке x0 либо строго возрастает (если f′′′(x0)>0), либо строго убывает (если f′′′(x0)<0).

Так как f′′(x0)=0, то вторая производная при некотором δ>0 имеет разные знаки в левой

и правой δ-окрестности точки x0. Отсюда, на основании предыдущей теоремы, следует что x0 − точка перегиба функции f(x).