Основные неопределенности и способы их раскрытия

Определение

При вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Основные виды неопределенностей: , , , , , ,

Все другие выражения не являются неопределенностями и принимают какое-то конкретное конечное или бесконечное значение.

Основные пределы

1. Первый замечательный предел:

 

Пример

Задание. Вычислить предел

Решение. Получим неопределенность, сделаем замену. При : ,

Ответ.

Задание. Найти предел

Решение.

Ответ.

4. Предел целой рациональной функции: если , то

 

Вопрос.Условия монотонности дифференцируемой функции. Примеры.

Монотонность функции и ее связь с производной

Монотонность функции, основные понятия и определения

Определение

Функция называется строго возрастающей на промежутке

Пример

Функция является возрастающей на промежутке , так как:

для

Определение

Функция называется строго убывающей на промежутке,

Пример

Функция является строго убывающей на промежутке , так как:

для

Функция строго возрастающая или строго убывающая на промежутке называется монотонной на этом промежутке.

Определение

Функция называется неубывающей на промежутке .

Функция называется невозрастающей на промежутке, .

Связь монотонности функции с ее производной

Теорема

(Об условии возрастания/убывания монотонной функции)

Если производная функции на некотором промежутке , то функция возрастает на этом промежутке; если же на промежутке , то функция убывает на этом промежутке.

Замечание

Если функция возрастает на промежутке, то или не существует.

Пример

Задание. Исследовать функцию на монотонность на всей числовой прямой.

Решение. Найдем производную заданной функции:

Для любого действительного : , функция возрастает на всей действительной оси.

Ответ. Функция возрастает на всей действительной оси.

Вопрос. Экстремумы функций (необходимые и достаточные условия существования) экстремума. Примеры

Понятие экстремума функции

Определение

точка локального максимума .

точка локального минимума .

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

, строгое неравенство .

строгого локального минимума строгое неравенство .

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Замечание

Необходимое условие экстремума

Теорема

(Необходимое условие экстремума)

Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует.

-называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.