Для оборотного циклу Карно маємо: 
; звідки: 
, або 
Враховуючи, що теплота q1 позитивна, а теплота q2 негативна, запишемо:
або 
, (6.1)
Це можна припустити, якщо під q2 розуміти не абсолютну кількість теплоти,яку віддає робоче тіло холодильнику з температурою Т2, а його значення в алгебрі, яке за списком негативне.
Відношення q/T називається зведеною теплотою. З рівняння (6.1) виходить, що в оборотному циклі Карноалгебраїчна сума зведеної теплоти дорівнює нулю.
Неважко показати, що рівність (6.1) справедлива не тільки для циклу Карно, але і для будь-якого оборотного циклу. З цією метою розглянемо в p, v - діаграмі довільний оборотний цикл (мал. 6.1).
Проведемо велику кількість близько розташованих адіабат, які розіб'ють довільний цикл на нескінченно велику кількість елементарних циклів e-f-g-h, f-m-n-g і т.д. Кожен такий елементарний цикл складається з двох адіабат і двох елементарних відрізків контура даного циклу. Зважаючи на нескінченно малі довжини цих відрізків,зміни температури по ним
Мал. 6.1 так само нескінченно малі. 
Отже, в межі ці відрізки можна вважати ізотермами, а цикли елементарними циклами Карно. Сукупна дія елементарних циклів однакова з дією кругового циклу ABCD.
Робота розширення по адіабаті f-g циклу e-f-g-h дорівнює роботі стиснення по адіабаті g-f циклу f-m-n-g. Таким чином, адіабатні процеси кінець кінцем не впливають на величину роботи, теплота ж під час цих процесів не підводиться і не відводиться. Сумарна дія елементарних циклів зводиться до сукупної дії елементарних процесів e-f, f-n, n-g, g-h і т. д., тобто однаково з дією кругового процесу по контуру ABCD.
Для кожного елементарного циклу Карно справедливе співвідношення (6.1). Підсумовуючи ці співвідношення для всіх елементарних циклів, для даного довільного циклу одержимо: 
, (6.2)
У межі для нескінченно великого числа цих елементарних циклів, тобто для циклу ABCD 
Розрахуючи (6.2), маємо: 
, (6.3)
Відомо, якщо інтеграл по замкнутому контуру дорівнює нулю, то підінтегральний вираз є повним диференціалом деякої функції стану S, називається ентропією, тобто:
або 
, (6.4)
цей вираз одержаний Клазіусом в 1834г, є математичним виразом другого закону термодинаміки для оборотного циклу і називається першим інтегралом Клазіуса.
Необоротні цикли.
Термічний ККД необоротного циклу менше, ніж термічний ККД циклу Карно, тобто:
ηtннеоб<ηооб. Звідки 
, або 
, (6.5)
Враховуючи, що теплота q2 - величина негативна (алгебраічне значення теплоти q2, що відводиться, за змістом негативне), нерівність (6.5) можна представити у вигляді:
, або 
, (6.6)
Ця нерівність показує, що алгебраїчна сума приведених теплот для необоротного циклу Карно менше нуля, тобто є величиною негативною.
Для довільного необоротного циклу, складеного з нескінченно великої кількості необоротних елементарних циклів, маємо:
, (6.7)
Ця нерівність є математичним виразом II-го закону ТТД для довільного необоротного циклу і називається другим інтегралом Клазіуса. Узагальнюючи приведені міркування для оборотних і необоротних кругових процесів, можна написати:
, (6.8)
де знак рівності відноситься до оборотних циклів, і є аналітичним виразом П-го закону ТТД.
Рівняння (6.8) показує, що приріст ентропії змінюється оберненопропорційно до температури. Отже, ентропія побічно через температуру, характеризує кількість теплоти, яка може бути перетворена в роботу, тобто її поняття тісно переплітається з суттю II-го закону ТТД, що встановлює умови, при яких в теплових двигунах можливий перехід теплоти в роботу.
