2.1. Дискретные сигналы и их z -преобразование.
 |
Ниже на рис. 2.1.1 приведена функциональная схема одноконтурной цифровой системы управления. Компьютер в этой системе по определенной программе обрабатывает представленную в цифровой форме информацию и выдает на выходе сигнал также в цифровой форме. Программа может быть написана так, что качество системы в целом будет равно или очень близко к заданному. Многие компьютеры способны принимать и обрабатывать несколько входных сигналов, поэтому цифровые системы управления часто бывают многомерными.
Рис. 2.1.1
Компьютер получает и обрабатывает сигнал в цифровом (численном) дискретном виде, а не в виде непрерывной переменной. В цифровой системе управления обязательно присутствует компьютер, входной и выходной сигнал которого представлены в виде числового кода. Преобразование непрерывного сигнала в цифровую форму осуществляет аналого-цифровой преобразователь (АЦП). Выходной сигнал компьютера (цифровой) преобразуется в непрерывную форму с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП). В результате любой непрерывный сигнал x (t) будет представляет собой последовательность дискретных значений x (k D t), где k = 0, 1, 2 целые числа.
Данные, получаемые о переменных системы только в дискретные моменты времени и обозначаемые как x (k D t), называются квантованными данными или дискретным сигналом.
Любое устройство, преобразующее непрерывный сигнал в дискретный, можно рассматривать как квантователь или ключ, который замыкается каждые D t секунд на бесконечно малый отрезок времени. Рассмотрим идеальный квантователь, изображенный на рис. 2.1.2. Его входной сигнал обозначен как x (t) а выходной – x* (t) = = x (k D t) d(t – k D t), где k D t есть текущий момент замыкания, а d(t) – единичная импульсная дельта-функция (Дирака).
 |
Рис. 2.1.2
Предположим, что мы квантуем сигнал x (t), как показано на рис. 2.1.3, и получаем x* (t). Тогда дискретный сигнал x* (t) можно представить в виде последовательности импульсов (условно обозначенных вертикальными стрелками), начинающихся при t = 0, разделенных интервалами в D t секунд и имеющих амплитуды x (k D t).
 |
Рис. 2.1.3
Цифроаналоговый преобразователь – это устройство, которое преобразует дискретный сигнал x* (t) в непрерывный сигнал p (t). Обычно его можно представить в виде фиксатора (экстраполятора нулевого порядка, ЭПО), как показано на рис. 2.1.4.
 |
Рис. 2.1.4
Экстраполятор воспринимает значение x (k D t) и сохраняет его постоянным на интервале k D t < t < (k +1)D t, как проиллюстрировано на рис. 2.1.5 для k = 0. Таким образом, значение x (k D t) имеет место на выходе экстраполятора в течение всего периода квантования. Рис. 2.1.5 соответствует реакции экстраполяторнулевого порядка на единичный входной сигнал. При этом, передаточная функция экстраполятора равна
. (2.1.1)
 |
Рис. 2.1.5
Квантователь и фиксатор могут достаточно точно воспроизводить входной сигнал, если только он незначительно изменяется за время, равное периоду квантования D t. Реакция квантователя и фиксатора на линейный входной сигнал изображена ни рис. 2.1.6.
Рис. 2.1.6
Z -преобразование дискретных сигналов.
Выходной сигнал x* (t) идеального квантователя представляет собой последовательность импульсов с амплитудами x (k D t)
. (2.1.2)
Преобразовав (2.6.2) по Лапласу (см. 1.3.1 стр. 19), получим
. (2.1.3)
Это выражение представляет собой бесконечный ряд по степеням члена es D t. Введем переменную z = es D t, возможно определить новое преобразование, называемое z-преобразованием
. (2.1.4)
Пример 2.6.1. Найдем z -преобразование единичной ступенчатой функции Xевисайда q (t)
. (2.1.5)
В общем случае z -преобразование функции f (t) определяется как
. (2.1.6)
Таблица 2.1.1 содержит z -преобразования часто встречающихся функций, а таблица 2.1.2 – его свойства. С более полной таблицей 2.1.1 можно познакомиться на сайте MCS.
Таблица 2.1.1
| x (t) | X (s) | X (z) |
| Ступенчатая функция Хевисайда, q (t) | 1/ s | z / (z –1) |
| Импульсная функция Дирака d (t) | ||
| d (t – k D t) | exp(– k D t) | z -k |
t 
| 1/ s 2 | D t z / (z –1)2 |
| exp(– at) | 1/(s + a) | z / [ z –exp(–aD t)] |
| 1 – exp(– at) | 1/ s (s + a) | z [1– exp(–aD t)] / (z- 1)[ z –exp(–aD t)] |
| sin(w t) | w /(s 2 + w 2) | z sin(w D t) / [ z 2–2 z cos(w D t)+1] |
| cos(w t) | s /(s 2 + w 2) | z [ z –cos(w D t)] / [ z 2–2 z cos(w D t)+1] |
| exp(- at) sin(w t) | w /[(s 2 + a 2) + w 2] | z exp(–aD t)sin(w D t) / [ z 2–2 z exp(–aD t)* *cos(w D t)+exp(–2 a D t)] |
| exp(- at) cos(w t) | (s + a)/[(s 2 + a 2) + w 2] | z 2– z exp(– a D t)* *cos(w D t)/ [ z 2–2 z exp(– a D t)* *cos(w D t)+exp(–2 a D t)] |
Таблица 2.1.2
| x (t) | |
| 1. k x (t) | k X (z) |
| 2. x 1(t) + x 2(t) | X 1(z) + X 2(z) |
| 3. x (t +D t) | z X (z) – z x (0) |
| 4. t x (t) | –D t z d X (z) / d z |
| 5. exp(– at) x (t) | X [ z exp(at)] |
| 6. x (0), начальное значение | lim X (z) при z ® ¥ |
| 7. x (¥), конечное значение | lim(z –1) X (z) при z ® 1, если все полюсы (z –1) X (z) находятся внутри единичной окруж-ности ê z ê= 1 на z -плоскости |
Передаточная функция разомкнутой дискретной системы.
Передаточная функция разомкнутой дискретной системы в z -области определяется по z -преобразованиям входного X (z) и выходного Y (z) сигналов
. (2.1.7)
Пример 2.1.2. Пусть разомкнутая дискретная система состоит из последовательно соединенных экстраполятора нулевого порядка (см. рис. 2.1.4) с передаточной функцией G 0(s) (см. 2.1.1) и ТО с передаточной функцией G ТO(s) = 1/ s (s +1), как показано на рис. 2.1.7.
 |
Рис. 2.1.7
Требуется найти отклик системы на единичный импульсный входной сигнал x (t) = d(t) (функцию Дирака) при D t = 1 c.
Передаточная функция по Лапласу данной системы равна
G (s) = G 0(s) G ТO(s) = [1–exp(– s D t)] / s 2 (s + 1) =
= [1–exp(– s D t)] [(1/ s 2) + (1/ s) + 1/(s +1)]. (2.1.8)
Выбирая из таблицы 2.1.1 z -преобразование для каждого из слагаемых (2.1.8), получим
G (z) = Z {[1–exp(– s D t)] [(1/ s 2) – (1/ s) + 1/(s +1)]} =
= (1– z -1) Z {[(1/ s 2) – (1/ s) + 1/(s +1)]} = (2.1.9)
= 
=
= 
.
Поскольку D t = 1, то
G (z) = 
. (2.1.10)
Так, как X (z) = 1, то Y (z) = G (z). Поделим числитель (2.1.10) на его знаменатель
Следовательно,
Y (z) = 0,3678 z -1 + 0,7675 z -2 + 0,9145 z -3 + … (2.1.11)
Таким образом, на выходе системы в дискретные моменты времени (раз в секунду) будут появляться следующие значения:
y (0) = 0; y (1) = 0, 3678; y (2) = 0, 7675; y (3) = 0, 9145.
Передаточная функция замкнутой дискретной системы.
На рис. 2.1.8 показана замкнутая схема рассмотренной ранее разомкнутой цифровой системы (показаны некие условные ключи, работающие синхронно с экстраполятором).
 |
Рис. 2.1.8
Передаточная функция такой системы равна
П (z) = 
. (2.1.12)
Пример 2.1.3. Пусть передаточная функция G(z) рассмотренной на рис. 2.1.8 замкнутой дискретной системы описывается выражением (2.1.10), как в примере 2.1.2. Требуется найти передаточную функцию П (z) замкнутой дискретной системы, а также – ее переходную характеристику, т.е. реакцию на единичную ступеньку x (t) = q (t) (функцию Хевисайда).
Подставляя (2.1.10) в (2.1.12), найдем
П (z) = . (2.1.13)
Так как z -преобразования функции Хевисайда равно X(z) = = z /(z –1), то
.
Произведя деление числителя на знаменатель по алгоритму, рассмотренному в примере 2.1.3, получим
Y (z) = 0,3678 z -1 + z -2 + 1,4 z -3 +1,4 z -4 + 1,147 z -5 + … (2.1.14)
Таким образом, на выходе замкнутой системы в дискретные моменты времени (раз в секунду) будут появляться следующие значения:
y (0) = 0; y (1) = 0, 3678; y (2) = 1; y (3) = 1,4; y (4) = 1,4; y (5) = 1,147.
2.2. Анализ устойчивости дискретных систем.
Линейная непрерывная система с обратной связью устойчива, если все полюсы ее передаточной функции П (s) расположены в левой половине s -плоскости (см. рис. 1.3.1 на стр. 21).
Z -плоскость и s -плоскость связаны преобразованием
z = exp(s D t) = exp[(s + jw)D t ]. (2.2.1)
Отсюда следует, что
½ z ½= exp(s D t) и arg z = w D t. (2.2.2)
В левой половине s -плоскости s < 0, поэтому 0 £½ z ½£ 1. Конформное отображение (2.2.1) переводит мнимую ось s -плоскости в единичную окружность на z -плоскости, а область внутри этой окружности соответствует всей левой половине s -плоскости.
Замкнутая дискретная система устойчива, если все полюсы ее передаточной функции П (z) расположены на z-плоскости внутри единичной окружности.
Пример 2.2.1. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 2.1.8, где
G (z) = 
, (2.2.3)
a K – коэффициент усиления регулятора.
Поскольку знаменатель передаточной функции П (z) замкнутой системы равен 1+ G (z), то ее характеристическое уравнение имеет вид
q (z) = 1+ G (z) = z 2–[1,3678–0,3678 K ]z +0,3678+0,2644 K = 0.
При K = 1 получим
q (z) = z 2 – z +0,6322 =
= (z – 0,50 + j 0,6182)(z – 0,50– j 0,6182) = 0.
Так как оба корня расположены внутри единичной окружности, то система устойчива.
Если K = 10, то
q (z) = z 2 + 2,310 z +3,012 =
= (z + 1,155 + j 1,295)(z + 1,155– j 1,295) = 0,
и система неустойчива.
Дискретная система второго порядка может стать неустойчивой при увеличении коэффициента усиления, тогда как непрерывная система второго порядка устойчива при любых значениях коэффициента усиления, если оба ее полюса находятся в левой половине s -плоскости.
2.3. Реализация цифровых регуляторов.
Рассмотрим непрерывный ПИД-регулятор с передаточной функцией (см. 1.6.6 стр. 42)
. (2.3.1)
Цифровую реализацию этого регулятора можно получить, если использовать дискретную аппроксимацию операций дифференцирования и интегрирования. Для производной по времени воспользуемся правилом правой разности (см. 1.2.5 стр. 17)
. (2.3.2)
Применив к (2.3.2) z -преобразование, получим
. (2.3.3)
Операцию интегрирования аппроксимируем с помощью формулы прямоугольников
, (2.3.4)
где u (k D t) – выход интегратора в момент t = k D t. Применив к (2.3.4) z -преобразование, получим
, или 
. (2.3.5)
Таким образом, передаточная функция цифрового ПИД- регулятора имеет вид
. (2.3.6)
Применим к (2.3.6) обратное z -преобразование и получим разностное уравнение, описывающее алгоритм работы цифрового ПИД-регулятора
u (k) = K 1 e (k) + K 2 [ u (k –1) + D t e (k)] + 
[ e (k) – e (k –1)] =
= K 2 u (k –1) + [ K 1 + K 2 D t + ] e (k) – e (k –1). (2.3.7)
Вычисление по уравнению (2.3.7) легко выполнить с помощью компьютера.
2.4. Модели систем в переменных состояния.
Широкое применение цифровых компьютеров побуждает рассматривать и описывать системы управления во временной области. Соответствующие методы являются более мощными по сравнению с рассмотренным выше методом преобразования Лапласа для анализа линейных систем управления с постоянными параметрами, т.к. могут быть применены к нелинейным, нестационарным и многомерным системам. Нестационарная система управления – это система, в которой один или более параметров являются функциями времени.
Переменные состояния динамической системы.
Предположим, что система управления описывается дифференциальным уравнением второго порядка
B d2 y (t) /d t 2 + C d y (t) /d t + D y (t) = x (t). (2.4.1)
Выберем в качестве переменных состояния координату y (t) и скорость ее изменения d y (t)/d t. Введем обозначения этих переменных
y 1(t) = y (t), (2.4.2)
y 2(t) = d y (t)/d t.
Тогда вместо дифференциального уравнения (2.1.1) второго порядка можно рассматривать систему дифференциальных уравнений первого порядка
d y 1(t) /d t = 0 y 1(t) + y 2(t), (2.4.3)
d y 2(t) /d t = – (D / B) y 1(t) – (C/B) y 2(t) + (1/ B) x (t).
Эти уравнения описывают поведение системы в терминах скорости изменения каждой переменной состояния. Более того, переменные состояния описывают поведение системы в будущем, если известны текущие состояния, внешние воздействия и уравнения динамики системы.
В общем случае состояние системы описывается дифференциальными уравнениями первого порядка относительно каждой из переменных состояния
x ¢1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n + b 11 u 1 + b 12 u 2 +…+ b 1m u m,
x ¢2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n + b 21 u 1 + b 22 u 2 +…+ b 2m u m,
…………………………………………………………….,
x ¢n = a n1 x 1 + a n2 x 2 + … + a nn x n + b n1 u 1 + b n2 u 2 +…+ b nm u m,
где x ¢ = d x (t)/d t. Эту же систему дифференциальных уравнений можно записать в матричной форме
,
или более компактном виде
, (2.4.4)
используя векторы-столбцы x и u, а также матрицы A = [ a nm] и B = [ b nm].
В общем случае выходные сигналы линейной системы связаны с переменными состояния и входными сигналами уравнением вида
y = Cx + Du, (2.4.5)
где y – совокупность выходных сигналов, представленных вектором-столбцом.
Пример 2.4.1. Запишем уравнение состояния для RLC цепи, изображенной на рис. 2.4.1.
 |
Рис. 2.4.1
Введем обозначения переменных состояния x 1 = uC, а x 2 = iL. Тогда, на основании уравнений Кирхгофа для токов, получим
d x 1(t) /d t = 0 x 1(t) – 
x 2(t) + u (t), (2.4.5)
d x 2(t) /d t = 
x 1(t) – 
x 2(t).
Выходной сигнал равен
y 1(t) = uR (t) = R x 2(t). (2.4.6)
Таким образом, уравнение состояния в векторной форме имеет вид
, y (t) = [0 R ] x (t). (2.4.7)
