Итоговая контрольная работа №1 по темам 1,2,3 5 страница

 

Ряд сходится при

(-1;1)- интервал сходимости ряда

Исследуем ряд на сходимость на концах интервала

При х=-1 получаем следующий ряд:

Знакочередующийся ряд

Проверим на сходимость по признаку Лейбница.

1)

……….

Ряд сходится по признаку Лейбница

При х=1 получаем следующий ряд:

 

Числовой ряд проверим на сходимость по второму признаку сравнения рядов.

Будем сравнивать с гармоническим рядом.

гармонический ряд является расходящимся рядом.

= = = =

= конечное число.

Оба ряда одновременно расходятся.

область сходимости степенного ряда

 

Пример 6.7.Найдите область сходимости степенного ряда

Степенной ряд

= = =

= = =

= = = =

Ряд сходится при

(-5;-3)- интервал сходимости ряда

Исследуем ряд на сходимость на концах интервала

При х=-5 получаем следующий ряд:

 

=

Знакочередующийся ряд

Проверим на сходимость по признаку Лейбница.

1)

 

……….

Ряд сходится по признаку Лейбница

При х=-3 получаем следующий ряд:

 

=

Числовой ряд проверим на сходимость по второму признаку сравнения рядов.

Будем сравнивать с гармоническим рядом.

гармонический ряд является расходящимся рядом.

 

= = = =

= = =1 конечное число.

Оба ряда одновременно расходятся.

область сходимости степенного ряда

 

 

Пример 6.8. Вычислить интеграл с точностью до 0,001:

Пример 6.9.Разложите данную функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x₀ (выпишете первых три ненулевых члена ряда):

.

Решение. Ряд Тейлора имеет следующий вид

Далее находим

Таким образом, первых три ненулевых члена ряда Тейлора исходной функции будут иметь следующий вид

 

Пример 6.10. Разложите данные функции в ряд Маклорена, используя разложения для функций cosx, sinx, e^x, ln(1+x), (1+x)^m, arctgx:

а) ,

б) .

Решение. а) В данном случае воспользуемся разложением

Тогда

и

.

Окончательно получаем

.

б) В данном случае воспользуемся биномиальным разложением

В данном случае

Тогда

Таким образом, искомое разложение будет иметь вид

Итоговая контрольная работа №1 по темам 1,2,3

 

Вариант 1

1. Вычислить пределы:

а)	г)
б) в) ,	д) е)

 

2. Построить график и определить характер точек разрыва:

3. Найти производные dy/dx данных функций:

а)	б)
г)	д) ,
в) ,
е) .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = x–2

на отрезке [0;4].

5. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

а)

б) .

6. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

7. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в) .

8. Дана функция . Показать, что .

9. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D: .

10. Дана функция , точка A(1;3) и вектор . Найти: a) в точке A; б) производную в точке A по направлению вектора a.

 

Вариант 2

1. Вычислить пределы:

а)	б)
г)	д)
в)
е)

2. Построить график и определить характер точек разрыва:

3. Найти производные dy/dx данных функций:

а)	б)
г)	д) ,
в)
е) .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–1;1].

5. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

а)

б) .

6. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

7. Найти все частные производные 1-го порядка:

а)

б)

в) .

8. Дана функция . Показать, что .

9. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D: .

10. Дана функция , точка A(–1;2) и вектор . Найти: a) в точке A; б) производную в точке A по направлению вектора a.

Итоговая контрольная работа №2 по теме4

 

Вариант 1

1. Найти общий или частный интеграл (решение) дифференциального уравнения первого порядка:

а) ,

б)

в) ,

г) ,

д)

е)

2. Найти общий или частный интеграл (решение) дифференциального уравнения, допускающего понижения порядка:

а)

б) .

3. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка:

а)

б) в)

Вариант 2

1. Найти общий или частный интеграл (решение) дифференциального уравнения первого порядка:

а) ,

б)

в) ,

г) ,

д)

е)

2. Найти общий или частный интеграл (решение) дифференциального уравнения, допускающего понижения порядка:

а)

б)

3. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка:

а)

б)

в)