Красноярск 2016
Составители: доцент Л.М. Коренюгина,
старший преподаватель Е.С. Разгулина
Коренюгина Л.М., Разгулина Е.С.
МаТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Практические задания по дисциплине для студентов очной формы обучения направления 38.03.01 Экономика
/ Л. М. Коренюгина, Е. С. Разгулина. – Красноярск: АНО ВО СИБУП, 2016. – с.
Все темы сопровождаются расчётными примерами с обстоятельными пояснениями. Предложены варианты выполнения контрольной работы.
Методические указания утверждены и одобрены к печати научно–методическим советом СИБУП от 2016 г. Протокол №
Коренюгина Л. М., Разгулина Е. С., 2016
АНО ВО Сибирский институт бизнеса, управления и психологии, 2016
Содержание
ВВЕДЕНИЕ 4
Тема 1. «Пределы числовых последовательностей и функций». 5
Тема 2: «Дифференциальное исчисление функции одной переменной». 17
Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» 29
Тема 4: «Интегральное исчисление». 41
Тема 5: «Дифференциальные уравнения». 50
Тема 6: «Ряды». 85
Итоговая контрольная работа №1 по темам 1,2,3. 96
Итоговая контрольная работа №3 по теме 5. 102
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... 104
ВВЕДЕНИЕ
Тема 1. «Пределы числовых последовательностей и функций»
Пример1.1
Найти область определения функции, исследовать заданную функцию на чётность.
1. a) f(x)= arctg(
); b) f(x)= 
-ctg(2x);
Решение:
А)) f(x)= arctg();
b) f(x)= -ctg(2x);
Пример1.2.
Найти предел
Здесь мы имеем с неопределенностью вида 
.
Разложим в числителе данное выражение на множители
Пример1.3.
Найти предел
Здесь мы имеем с неопределенностью вида 
. Разделим числитель и знаменатель данной дробно-рациональной функции на 
(на x в наивысшей степени). Тогда используя свойства пределов, получим
Пример1.4.
Найти предел
Здесь мы имеем с неопределенностью вида ¥–¥. Умножим и разделим данное выражение на точно такое же, но со знаком плюс между слагаемыми (на сопряженное выражение):
Пример1.5.
Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Умножим числитель и знаменатель на точно такое же выражение, стоящее в знаменателе, но со знаком плюс между слагаемыми:
Пример1.6.
Здесь мы имеем с неопределенностью вида . При вычислении данного предела воспользуемся методом эквивалентных бесконечно малых величин.
= 
Пример1.7.
Здесь мы имеем с неопределенностью вида 
. Преобразуем выражение, стоящее в скобках, следующим образом
.
Тогда исходный предел можно преобразовать так:
Предел выражения в квадратных скобках, в соответствии со вторым замечательным пределом, равен
.
В результате получаем
.
Пример1.8.
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
a) 
; b) 
; c) 
;
d) 
;
Решение:
а) 
;
b)
;
c) 
;
=0
=0
d) 
Здесь мы имеем с неопределенностью вида 
.
При вычислении данного предела воспользуемся методом замены и методом эквивалентных бесконечно малых величин.
Пример 1.9.
Задана функция y=f(x) и два значения аргумента x 
и x 
. Требуется:
1) найти область непрерывности функции и установить, является ли данная функция непрерывной для каждого из заданных значений аргумента;
2) в случае разрыва функции сделать вывод о характере точки разрыва;
3) сделать схематический чертёж в окрестности точки разрыва.
f(x)= 12 
, x = 1, x = 0;
Данная функция элементарная
1) Область определения
Д(х)= 
Во всех точках определения функция непрерывна
В точке x1 = 1 функция непрерывна
определим характер точки разрыва
Для этого найдем односторонние пределы
В точке x2 = 0 функция терпит разрыв второго рода
 |
 | |||||
 | |||||
 |
Пример 1.10.
Найти точки разрыва функции и определить характер разрыва. Построить график функции.
f(x)= 
Данная функция задана тремя элементарными функциями, определенными на различных интервалах изменения х.
Функция непрерывна на каждом интервале
Разрыв возможен только в точках x1 = -1, x2 =0, где меняется аналитическое выражение функции
Для этого найдем односторонние пределы
В точке x1 = -1 функция непрерывна
f(0)не определено
В точке x2 = 0 функция терпит разрыв первого рода (односторонние пределы конечные числа не равные между собой)
 |
Тема 2: «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»
Пример 2.1. Найти производную 
При вычислении производной данной функции следует использовать правило дифференцирования частного: 
. В результате получим
Пример 2.2. Найти производную
Пример 2.3. Найти производную
Пример 2.4. Найти производную
Пример 2.5. Найти производную
Пример 2.6. Найти производную
Пример 2.7. Найти производную
.
Пример 2.8.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x3–3x+1 на отрезке [1/2; 2].
Ответ: 
Пример 2.9.
Составьте уравнение касательной в точке 
Решение:
Найдем производную:
.
касательная
Ответ: касательная к графику функции в точке
Пример 2.10. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию.
Построить график этой функции, используя результаты исследования.
Общая схема исследования:
1. Область определения
2. Точки пересечения с осями координат
С ось ох =>у=0
3. Четность-нечетность, периодичность.
4. Точки экстремума, промежутки возрастания, убывания функции.
5. Точки перегиба, промежутки выпуклости, вогнутости.
6. Асимптоты вертикальные и наклонные.
7. График.
2) Область определения 
Д(х)= 
3) Точки пересечения с осями координат
С ось ох =>у=0
Нет точек пересечения с осями координат
3) Четность-нечетность, периодичность
не является четной и не является нечетной, график не симметричен относительно оси оу и начала координат.
Функция не содержит тригонометрических выражений - не является периодической.
4)Точки экстремума, промежутки возрастания, убывания.
точки экстремума х= 
и х= 
Найдем знак первой производной на промежутках области определения
| х | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| + | - | Не опр | - | + | ||
| у | 
| макс | 
| Не опр | 
| мин |
|
5)Точки перегиба, промежутки выпуклости, вогнутости
= 
действительных корней нет, точек перегиба нет. Найдем знак второй производной на промежутках области определения.
| х | 
| -1 | 
|
| - | Не опр | + |
| у | 
| Не опр | 
|
6) Асимптоты
