.
Найдем теперь частное решение 
неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения: f(x) 
, т.е. решение будем искать в виде 
k1=0=а однократный корень характеристического уравнения
.
Находя производные этой функции
и подставляя их в исходное уравнение, получим
Найдем неизвестные коэффициенты A, B, C. Для этого сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:
Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид
Пример 5.16. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: 
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Составляем характеристическое уравнение 
.
Полученное квадратное уравнение имеет комплексные корни: k1=3+4i, k2=3–4i.
Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения.
Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения: 
а=0+4i не является корнем характеристического уравнения
Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид 
и подставляя их в исходное уравнение, получим
Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид
Пример 5.18. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: 
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения 
.
Составляем характеристическое уравнение 
.
Полученное квадратное уравнение имеет действительные корни: k1=0, k2=-2. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид
.
Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения:
.
и подставляя их в исходное уравнение, получим
Пример 5.19. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: Найти общее решение линейного дифференциального уравнения методом вариации постоянных (методом Лагранжа):
.
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Составляем характеристическое уравнение
.
Общее решение однородного уравнения
Найдем частное решение неоднородного уравнения
Рассмотрим правую часть исходного уравнения
Решим задание через вронскиан
Так как 
, то выражения принимают значения
Пример 5.20. Найти решение системы дифференциальных уравнений:
Решение:
Пример 5.21. Найти решение системы дифференциальных уравнений: 
Ответ:
Пример 5.22.
Найти функцию дохода 
, если известно, что величина потребления задаётся функцией 
, коэффициент капиталоёмкости прироста дохода 
, 
.
| № задачи |
|
|
|
| C=3t | 0,4 |
Найти функцию дохода , если известно, что величина потребления задаётся функцией 
, коэффициент капиталоёмкости прироста дохода 
, 
.
Решение:
Известно, что функция дохода равна
,
где 
– сумма инвестиций, 
– величина потребления.
А также имеет место дифференциальное уравнение
,
где – коэффициент капиталоёмкости прироста дохода. По условию задачи составим дифференциальное уравнение:
, или 
Итак, функция дохода удовлетворяет линейному неоднородному уравнению первого порядка. Будем искать его решение в виде 
.
Тогда 
, подставим в уравнение 
1) 
2) 
Общее решение 
или 
Используя начальные условия 
, найдём 
: 
или 
.
Итак, функция дохода имеет вид 
.
Задания к теме 5 «Дифференциальные уравнения»
Проинтегрировать данные уравнения или системы уравнений; если заданы начальные условия, то выделить частные решения:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
.
7. 
8. 
9. 
.
10. 
11. 
.
12. 
13. 
.
14. 
15. 
.
16. 
17. 
.
18. 
19. 
.
20. 
;
21. 
.
22. 
.
23. 
24. 
25. 
26. 
.
27. 
.
28. 
29. 
.
30. 
;.
31. 
32. 
.
33. 
;
34. 
.
35. 
.
Тема 6: «Ряды»
Пример 6.1. Исследовать на сходимость числовой ряд:
Степенной ряд
Пример 6.2. Исследовать на сходимость ряд 
Запишем формулу общего члена ряда в виде
.
Как легко убедиться при n=1,2,3,4 будут получаться члены исходного ряда. Проверим, выполняется ли необходимое условие сходимости рядов: 
. Вычисляем предел
.
Таким образом, необходимое условие сходимости рядов не выполняется, следовательно, исходный ряд является расходящимся.
Пример 6.3. Исследовать на сходимость ряд 
Данный ряд является знакочередующимся, следовательно, к нему можно применить признак Лейбница: если члены знакочередующегося ряда 
убывают по абсолютной величине 
и , то такой ряд сходится. Для исходного ряда все условия признака Лейбница выполняются, следовательно, данный ряд является сходящимся. Исследуем теперь данный ряд на абсолютную сходимость: ряд 
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд 
. В данном случае исследуем на сходимость ряд:
и сравним его с рядом 
. Поскольку 
, то этот ряд будет расходящимся. Применим предельный признак сравнения: два знакоположительных ряда и 
сходятся и расходятся одновременно, если существует предел 
. В данном случае
.
Поскольку эталонный ряд расходится, то и сравниваемый ряд тоже расходится. Таким образом, исходный ряд является абсолютно расходящимся. Поскольку, по признаку Лейбница, мы получили, что он сходится, следовательно, исходный ряд является условно сходящимся.
Пример 6.4. Исследовать на сходимость ряд 
Применим к данному ряду интегральный признак сходимости рядов: пусть дан ряд и и пусть f(x) – такая функция, что f(n)=an, тогда несобственный интеграл 
и исходный ряд сходятся и расходятся одновременно. В данном случае получаем следующий несобственный интеграл:
Поскольку несобственный интеграл расходится, то расходится и исходный числовой ряд.
Пример 6.5. Исследовать на сходимость ряд 
Применим к данному ряду радикальный признак Коши: пусть дан ряд и существует предел 
, тогда если l>1, то ряд расходится, если l<1, то ряд сходится, если l=1, то ряд может сходиться и расходиться, т.е. требуется применить другой признак сходимости. В данном случае (используя второй замечательный предел) получаем
.
Следовательно, исходный ряд является сходящимся.
Пример 6.6. Найти область сходимости степенного ряда:
.
