. , S P (S) i, j (S1) , , . : . .
. , k Ai . pij(s) , s Aj , (s 1) Ai, .
. , .
.
. , . , .
. , pij i j . pij .
, k.
, :
.
.. , , .
, .
. .
.. , , , 4 .
S1
0,2 0,7
S2 0,4 S4
0,6 0,5
0,1 0,5
S3
.
Pij(n) , n i j, r i j. pij(1) = pij.
Pij(n) , :
(), i r.
.
1, Pij(2) i j , .. 2:
|
|
n=2 P1 P1, , :
. 1. 2.
. , , .
, .
, . .
. ( ) . (¥) :
.. (¥) . u1, u2, , un . ( ).
:
. .
C , u1 + u2 = 1, :
:
t=m (m)=(q1(m), q2(m),..., qk(m)),
qi(m) , t=m i.
, , :
(m+1)= (m)×.
m=0, 1, 2,..., (m) (0) , :
(m)= (0)×m.
qp={q1, q2,..., qk} ,
q={q1, q2,..., qk}, :
, , .. . , .. :
(*)
n , . n , .
, (*).
1. P1 i-ro j-oe (i, j = 1, 2). t = 0 .
:
1) P2 i j ;
2) t = 2;
3) , t = 1 i = 2;
4) .
:
: ,
|
|
P1
Pn n ;
1) P2 2 .
S-
Pn n (s+n)- .
(4) |
,
2) t=2. (4) S=0 n=2. .
3) t=1. (4) S(0) n=1,
, , t=1 A2, p2(1)=0,87.
, ,
(5) |
(4) n=1
4) . k=2 . (5) :
; ; ; ; .
, .
:
1) ;
2) t=2 ;
3) , t=1 A2, p2(1)=0,87;
4) .
2. . , - , 0,6 . , 0,2 0,5 . , , 0,6 , , . , ( ) , , . , .
. :
0 ;
1 ;
2 .
:
, , ..:
=(1/3; 1/3; 1/3).
q(2).
:
, 136/300.
:
, :
q1=13/51;
q2=14/51;
q3=24/51.
, 1, 2,...., k , . () .
, .
. i j . ij lij ij{Dt} Dt Ai Aj; Dt Dt 0, . .
lij = . (1)
lij , , t, Dt.
lij t, () .
, : t .
|
|
, (1) ij(Dt)=lijDt + aij(Dt), aij(Dt) Dt. :
Pij(Dt) = lijDt, i j (2)
. . ij(Dt) D t lij Dt. lij i Aj.
lij :
L = (3)
:
1) lij 0, i j, (2), Pij(Dt) 0;
2) lij 0, i=j, lii = (Pii(Dt) 1);
3) = 0 , (li1 + li2 + lii + lik)Dt = Pi1(Dt) + Pi2(Dt) ++(Pii(Dt) 1) + + Pik(Dt)) = 0.
lij . lij >0.
, :
p1 (t), p2 (t), , pk(t), = 1, (4)
. . 1, 2, , k t. pi(t) t ,
p(t) = p(t) L (5)
p(t) = (p1(t), p2(t),, pk(t)); p(t) = (p1(t), p2(t),, pk(t)), L
().
, , . .
p(t) = p, (6)
p = (p1, p2, , pk) = const, j = 1, 2,..., k. (6) t, : p(t) = 0.
(5) ,
p L = 0, (7)
. . p'j =0; j =1, 2,.., k.
(7) :
ljipi, j i , i- , lijpj, j i , i - .
2.
. , L; ; .
. 3 1, 2, 3. L lij>0, i j (. 2). l12=5, 1 2 , 1 2, ; l13=0, , 1 3 . .
: (5); p(t) = (p1(t), p2(t), p3(t)); p(t) = (p1(t), p2(t), p3(t)),
(p1(t), p2(t), p3(t)) = (p1(t), p2(t), p3(t))
p(t) L :
p1(t) = - 5 p1(t) + p2(t) + p3(t);
p2(t) = 5p1(t) - p2(t) + p3(t);
p3(t) = -2 p3(t).
pi(t) = 0, i = 1, 2, 3. p = (p1, p2, p3) , :
0 = - 5 p1 + p2 + p3;
0 = 5p1 - p2 + p3; (8)
0 = -2 p3.
, p3 = 0, p2= 5p1. (4) p1 + p2 + p3 = 1,, p = (1/6; 5/6; 0).
|
|
, , , . , 1 5 p1 = 1 p2 + 1 p3, 2: 1 p2 = 5p1 + 1 p3, A3: 1 p3 + 1p3 = 0. , , (8).
, pi(t}, i=l, 2,..., k , . . t .
pi = pi(t), i = 1, 2, , k, (9)
, , , .
, , , .
, . .
i , j Ai j, , Aj Ai . Ai , . , , . 2, 3 ( 1 2 ), 1 A2 . Ai Aj , Ai Aj Aj Ai. . 2 A1 2.
1. Ai ,
pi(t) = 0. (10)
, Ai .
2. () , , , .
. 2 .
. A1 A2 , A3 . , 2 p = (1/6; 5/6; 0). , p3(t) = 0 1, A3 .
. . , ; ; .
:
: A1,A2,,Ak
,
- Ai Aj;
- Ai Aj .
, , .
.
- , Aj t. , . . (),
(6) |
,
Aj,
(7) |
(6) (7) .
. k=3, j=1,2,3. (6)
:
.
, , , pj=const, j=1,2,,k.
. (6) , .
: .
. , , . , .
|
|
. .
) 6 - . - . .
. , = 1 :
) 1, 2, 6. 3, 4, 5 - .
- 0 , = 1 :