Визначаємо суми проекцій сил на вісі Х та У

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 1

Визначення рівнодійної за модулем та напрямом геометричним способом та аналітично.

Мета: Визначити рівнодіючу за модулем і напрямом геометричним та аналітичним методом з урахуванням компетентністного підходу.

Обладнання: калькулятор, олівець, лінійка, формат А-4, методичні вказівки

Теоретичні відомості:

Складання системи сил

Збіжними називаються сили, лінії дії яких перетинаються в одній крапці. Прикладом застосування закономірностей визначення рівнодійної системи збіжних сил є приведення сил, які діють в кривошипн-шатунному механізмі двигуна.

Рис. 1. Схема сил, що діють в КШМ двигуна.

 

Рушійною силою є сила тиску газів Р, яка розкладається на силу Ѕ, що діє вздовж шатуна та силу N що притискає поршень до втулки. В свою чергу сила Ѕ переноситьсянашатуну шийку в крапку В, а потім всі сили і моменти переносяться на вісь колінчастого вала в крапку О. Таким чином врівноваження двигуна зводиться до визначення рівнодійної від активних сил та реакцій опор двигуна.

Геометрична сума будь-якої системи сил визначається послідовним додаванням сил системи за правилом паралелограма, або побудовою силового багатокутника.

Послідовно застосовуючи аксіому паралелограма сил, одержуємо, що система збіжних сил має рівнодіючу, що дорівнює геометричній сумі (головному вектору R) цих сил і яка прикладена в крапці їхнього перетинання.

Розглянемо другий спосіб як найбільш простий.

Для знаходження суми сил F1,F2,F3..., Fn методом силового багатокутника виконуються наступні побудови: всі сили в обраному масштабі відкладаються послідовно одна за іншою (рис.1.1). З'єднуючи початок першого вектора з кінцем останнього вектора, одержуємо головний вектор (геометричну суму сил, що складаються,). У якому порядку відкладаються сили, значення не має, тому що величина R не зміниться:

R = F ₁ + F ₂ + F ₃ +...+ F_n; R =Σ Fn.

Необхідно врахувати, що при побудові векторного багатокутника вектор рівнодіючої R спрямований в одну сторону, а вектор урівноважуючої сили R_ур - у протилежному.

 

Рисунок 1.1 Схема визначення рівнодіючої системи сил методом силового багатокутника.

Інший геометричний спосіб знаходження рівнодіючої базується на аксіомі про паралелограм (рівнодіюча двох сил знаходиться як діагональ паралеграмма побудованого на силах, як на сторонах).

Таким чином, геометрична сума R (рівнодіюча) двох сил F1 і F2 знаходиться або за правилом паралелограма або за допомогою побудови силового трикутника (рис.1.2).

 

Рисунок 1.2 Схеми складання сил

 

Модуль R визначається як сторона A₁C₁ трикутника A₁B₁C₁ з рівності

R₂ = F₁² + F₂² – 2 ∙ F₁F₂ ∙ cos (180⁰ – α),

де α – кут між силами, cos (180⁰ – α) = - cos α,

R = .

Кути β і γ знаходять по теоремі синусів. З огляду на те, що sin(180° − α) = sinα

одержуємо

.

При геометричному способі дуже важливо точно в обраному масштабі, у відповідності відкладати значення та напрямки сил.

Геометричний метод визначення рівнодійної дозволяє визначити напрям її дії, але не дозволяє точно визначити її значення (модуль).

Для вирішення інженерних задач користуються координатним методом заснованим на методі проекцій.

Перехід від залежностей між векторами до залежностей між їхніми проекціями здійснюється за допомогою наступної теореми геометрії: проекція вектора сили на яку-небудь вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій векторів, що складаються, на ту ж вісь (рис. 1.3).

Якщо вектор сили

R = F ₁ + F ₂ + F ₃ + F ₄ (R =Σ ^F_n),

То R_x = F _{1 x} + F _{2 x} + F _{3 x} - F _{4 x},

де F_x = ab, F_2x = bc, F_3x = cd, F_4x = −ed.

 

Рисунок 1.3 Схема аналітичного методу складання сил.

 

Для будь-якої системи сил рівнодіюча (або головний вектор R) буде дорівнює R =ΣF _n. (1.1)

Відповідно до теореми будемо мати наступне:

R_x =ΣF _nx, R_y =ΣF _ny. (1.2)

Формули (1.1) і (1.2) дозволяють вирішити завдання про додавання сил аналітично. Для сил, що лежать в одній площині, формули (1.1) і (1.2) приймуть вид

проекція сили на вісь – алгебраїчна величина, яка дорівнює довжині відрізка між проекціями початку і кінця сили на цю вісь. Проекція має знак “+”, якщо вектор сили нахилений у бік додатнього напрямку осі, і знак “-” – якщо в бік від’ємного напрямку.

R =

 

R – модуль рівнодіючої;

R_x – проекція рівнодіючої на вісь ОХ;

R_y – проекція рівнодіючої на вісь ОУ;

cos φ – кут нахилу рівнодіючої до вісі ОХ

cos φ =

Хід роботи:

1.Скласти розрахункову схему в зручному масштабі у відповідності з варіантом завдання.

2. Визначити рівнодіючу геометричними способами (силового багатокутника та паралелограма)

3. Визначити суму проекцій на вісі ОХ та ОУ.

4. Визначити рівнодіючу за модулем.

6. Визначити рівнодіючу за напрямом.

5. Зробити висновок.

 

Приклад:

Завдання:

F₁ = 150H α = 45⁰

F₂ = 200H β = 180⁰ 120⁰

F₃ = 180H γ = 285⁰

1. Складемо розрахункову схему

R₁ = F₁ + F₂ + F₃

Визначаємо суми проекцій сил на вісі Х та У

R_x = F₁ cos 45⁰ – F₂ cos 60⁰ + F₃ cos 75⁰

R_y = F₁ sin 45⁰ + F₂ sin 60⁰ – F₃ sin 75⁰

 

R_x = 150 · 0,707 – 200 · 0,5 + 180 · 0,259 = 52Н

R_y = 150 · 0,707 + 200 · 0,866 – 180 · 0,966 = 105Н