Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


римеры решения задач к контрольной работе № 1




адача 1.

Три стрелка производят по одному выстрелу в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для каждого из них равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что: а) в цель попадет только один стрелок;

б) в цель попадут только два стрелка; в) в цель попадет хотя бы один стрелок.

ешение.

а) Рассмотрим следующие события:

А1 – первый стрелок попал в цель;

А2 – второй стрелок попал в цель;

А3 – третий стрелок попал в цель;

1 – первый стрелок не попал в цель;

2 – второй стрелок не попал в цель;

3 – третий стрелок не попал в цель.

По условию Р(А1) = 0,7; Р(А2) = 0,8; Р(А3) =0,9; Р(`А1) = 1 – 0,7 = 0,3;

Р(`А2) = 0,2; Р (`А3) = 0,1.

Пусть событие В – попал только один стрелок. Тогда

В=А123+`А1А23+`А12 А3

Отсюда в силу несовместности событий-слагаемых и независимости

событий – сомножителей

Р(В) = Р(А1) Р(`А2) Р(`А3) + Р(`А1) Р(А2) Р(`А3) + Р(`А1) Р(`А2) Р(А3) =

0,7 × 0,2 × 0,1 + 0,3 × 0,8 × 0,1 + 0,3 × 0,2 × 0,9 = 0,092

б) Пусть событие С – попадут только два стрелка. Тогда

С = А1А23 + А12А3 +`А1А2А3.

Отсюда

Р(С) = 0,7 × 0,8 × 0,1 + 0,7 × 0,2 × 0,9 + 0,3 × 0,8 × 0,9 = 0,398

в) Пусть событие D – попал хотя бы один стрелок. Тогда противоположное событие`D – не попал ни один из них, т.е..


Поэтому =0,3 × 0,2 × 0,1 = 0,006.

Отсюда P(D) = 1 – P(D) = 1 – 0,006 = 0,994.

 

адача 2.

Среди 15 микрокалькуляторов, имеющихся в вычислительной лаборатории, лишь 6 новых, а остальные – бывшие в употреблении. Наугад взято три микрокалькулятора. Какова вероятность, что все они окажутся новыми?

ешение.

Рассмотрим события:

А – первый из взятых микрокалькуляторов новый

В – второй микрокалькулятор новый

С – третий микрокалькулятор новый

Тогда Р(А) =

Вероятность того, что второй микрокалькулятор будет новый, при условии, что уже отобраны два новых микрокалькулятора, т.е. условная вероятность события В, равна

РА(В) =

Вероятность того, что третьим будет отобран новый микрокалькулятор, при условии, что уже отобраны два новых микрокалькулятора, т.е. условная вероятность события С, равна

РАВ (С) =

Искомая вероятность того, что все три отобранных микрокалькулятора окажутся новыми, равна

Р(АВС) = Р(А) · РА(В) · РАВ (С) = · · =

 

адача 3.

Наборщик типографии использует 2 набора шрифтов одинакового объема, при этом в 1-м из них 80%, а во 2-м – 90% отличного шрифта. Наудачу извлеченная литера из наудачу взятого набора оказалась отличного качества.

Найти вероятность того, что эта литера взята из 2-го набора.

ешение.

Как и в предыдущей задаче, обозначим события - литера с i -го набора, вероятности этих событий Эти события образуют полную группу событий. Событие В – наудачу взятая литера отличного качества. По условию

Требуется найти вероятность , т.е. переоценить вероятность гипотезы А2 , когда событие В уже наступило. Используем формулу Бейеса , где - формула полной вероятности. Получаем искомую вероятность

 

адача 4.

После года хранения на складе в среднем 10% аккумуляторов выходит из строя. Определить вероятность того, что после года хранения из 12 аккумуляторов окажутся годными:

а) 10;

б) больше половины.

ешение.

Событие А – наудачу взятый аккумулятор после года хранения годный. Вероятность для каждого из n =12 аккумуляторов.

а) Следует определить вероятность . применим формулу Бернулли: .

Получаем: .

б) т.е. m = 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Искомая вероятность

адача 5.

Вероятность изготовления бракованной отливки равна 0,002.

Определить вероятность того, что из выпущенных 500 отливок количество бракованных составит:

а) 2;

б) более двух.

Решение. В этой задаче n = 500 велико, p = 0,002 мала, произведение

а) m = 2. Найти вероятность P 2,500 можно по формуле Бернулли, но это нецелесообразно ввиду громоздкости вычислений. Воспользуемся формулой Пуассона

Вероятность находим, пользуясь таблицей значений функции Пуассона: P 2,500 = 0,1839.

б) m >2, т.е. m = 3,4..., 500 P 500(m >2) надо найти.

 

Перейдем к противоположному событию , тогда Для вычисления каждого слагаемого используем формулу Пуассона при и .

Получаем, пользуясь таблицей:

адача 6.

Вероятность своевременного выполнения заказа цехами службы быта равна 0,75.

Найти вероятность того, что из 160 заказов своевременно выполнят:

а) 120;

б) не менее 110.

 

 

ешение.

Вероятность выполнения каждого заказа невыполнения -

а) n =160 велико, m = 120; p близко к 0,5. Для вычисления вероятности воспользуемся формулой Муавра-Лапласа: .

Значения функции Гаусса находим по таблице, учитывая ее четность: .

Находим: .

По таблице находим

Искомая вероятность

б) , т.е. надо найти вероятность

Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа: , где а - функция Лапласа, значения которой табулированы, функция нечетная.

Вычисляем: .

По таблице находим:

Получаем: искомая вероятность:

адача 7.

Заданы законы распределения двух независимых случайных величин Х и Y

 


Х -5 2 3 4 Y 1 4

 


Р 0,4 0,3 0,1 0,2 Р 0,2 0,8

 

Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины Z = 2X – 7Y

Решение.

Найдем математическое ожидание и дисперсию для случайных величин Х и Y.

М(Х) = – 5 · 0,4 + 2 · 0,3 + 3 · 0,1 + 4 · 0,2 = – 0,3;

М(Y) = 1· 0,2 + 4 · 0,8 = 3,4

Напишем законы распределения для случайных Х2 и Y2:

 


Х2 25 4 9 16 Y2 1 16

 


Р 0,4 0,3 0,1 0,2 Р 0,2 0,8

 

Найдем математическое ожидание для случайных величин Х2 и Y2:

М(Х2) = 25 · 0,4 + 4 · 0,3 + 9 · 0,1 + 16 · 0,2 = 15,3;

М(Y2) = 1· 0,2 + 16 · 0,8 = 13,0

Отсюда

D(X) = M(X2) – [ M(X)]2 = 15,3 – (– 0,3)2 = 15,21

D(Y) = M(Y2) – [ M(Y)]2 = 13,0 – (3,4)2 = 1,44

Наконец, пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, а также независимостью случайных величин Х и Y, получаем

М(Z) = M(2X – 7Y) = 2M(X) – 7M(Y) = 2(– 0,3) - 7· 3,4 = – 24,4

D(Z) = D(2X – 7Y) = 4D (X) + 49 · D(Y) = 4 · 15,21 + 49 · 1,44 = 131,4

 

адача 8.

Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

0 при х £ -3

F(x) = (х + 3)2 при –3< x £ 0

1 при х > 0

Найти:

а) вероятность попадания случайной величины Х в интервал ;

б) плотность распределения вероятностей случайной величины Х;

в) математическое ожидание случайной величины Х.

 

ешение.

а) вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:

б) Найдем плотность распределения вероятностей случайной величины Х по формуле f (x) = F¢ (x)

Получаем

0 при х £ -3

F(x) = (х + 3)2 при –3< x £ 0

0 при х > 0

в) Математическое ожидание случайной величины Х находим по формуле

Имеем


Задача 9.

Станок–автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х его диаметра от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,9 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и со средним квадратическим отклонением σ = 0,5 мм, найти, сколько процентов годных шариков изготовляет станок–автомат.

ешение.

Воспользуемся формулой для вычисления вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины Х от ее математического ожидания

Р(|Х - α| < ε) = 2Ф

где α = М(Х), σ2 = D(X), Ф(х) – функция Лапласа (см. приложение 1).

По условию задачи α = М(Х) = 0; σ = 0,5; ε = 0,9, поэтому Р(│Х│<0,9)=2Ф (1,8)=2·0,4641=0,9282

Таким образом, станок–автомат изготавливает 92,8% годных шариков.

 

 

 

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2017-02-11; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1455 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Что разум человека может постигнуть и во что он может поверить, того он способен достичь © Наполеон Хилл
==> читать все изречения...

2488 - | 2299 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.012 с.