В задачах 1 – 20 найти вероятности указанных событий, пользуясь правилами сложения и умножения вероятностей.
1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй сигнализатор срабатывает с вероятностью 0,80. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
2. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным, равна 0,15. Проверено три изделия. Какова вероятность того, что два из них бракованные?
3. В группе студентов, состоящей из 20 человек, 12 юношей и 8 девушек. Для дежурства случайных образом отобрано двое студентов. Какова вероятность того, что среди них будет один юноша и одна девушка?
4. В ящике имеется 12 деталей, из которых 5 деталей нестандартны. Сборщик наудачу извлекает из ящика 4 детали. Какова вероятность того, что все они будут нестандартны?
5. Студент знает 15 из 20 вопросов программы. Какова вероятность того, что он знает все три вопроса, предложенные экзаменатором?
6. Техническое устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятности отказа этих элементов соответственно равны 0,05; 0,07 и 0,09. Найти вероятность того, что техническое устройство не сработает, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
7. Для поражения цели достаточно одного попадания. По цели произведено три выстрела с вероятностями попадания 0,75; 0,85; 0,90 соответственно. Найти вероятность того, что цель будет поражена.
8. Вероятность попадания в мишень при трех выстрелах хотя бы один раз для некоторого стрелка равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.
9. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется высшего сорта равна 0,3. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два будут высшего сорта.
10. Исследователь разыскивает нужные ему сведения в трех справочниках. Вероятности того, что эти сведения находятся в первом, во втором и третьем справочнике равны соответственно 0,7; 0,6; 0,9. Найти вероятность того, что требуемые сведения содержатся хотя бы в одном справочнике.
11. В урне находятся 15 шаров, пять из которых красные, а остальные белые. Наудачу друг за другом извлекаются три шара. Какова вероятность того, что все они будут красными?
12. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров. Во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика наудачу вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара былые?
13. Три стрелка производят выстрел по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Найти вероятность того, что произойдет не менее двух попаданий.
14. В урне 20 шаров, из которых 7 красных, а остальные белые. Наудачу вынули три шара. Какова вероятность того, что все они белые?
15. Вероятность того, что электролампочка неисправна, равна 0,2. Какова вероятность того, хотя бы одна из четырех электролампочек исправна?
16. В группе из 18 студентов имеется 5 отличников. Выбираются наудачу три студента. Какова вероятность, что все они отличники?
17. В ящике находятся 15 деталей, пять из которых бракованные. Наудачу отобраны три детали. Какова вероятность, что все они не окажутся бракованными?
18. Имеются два ящика, в первом из которых 5 белых и 8 красных шаров, а во тором – 3 белых и 2 красных шара. Из каждого ящика вынимается наудачу по одному шару. Какова вероятность того, что один из них будет красным, а другой белым?
19. Вероятность выхода из строя станка в течение одного рабочего дня равна 0,01. Какова вероятность того, что за три рабочих дня станок ни разу не выйдет из строя?
20. Вероятность обнаружения цели при одном цикле обзора радиолокационной станцией равна 0,3. Какова вероятность обнаружения цели хотя бы один раз при четырех циклах обзора?
21. На трех станках различной марки изготовляется определенная деталь. Производительность первого станка за смену составляет 50 деталей, второго – 65, третьего – 45 деталей. При проведении специальных испытаний на точность установлено, что 2%, 1% и 3% продукции этих станков, соответственно, имеет скрытые дефекты. В конце смены взята одна деталь. Какова вероятность, что она стандартная?
22. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Установлено, что вероятность брака для первого станка равна 0,03, для второго – 0,04, а для третьего – 0,02. Производительность первого станка в 2 раза больше второго, а третьего в 3 раза меньше второго. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она обработана на втором станке?
23. Среди студентов академии 30% - первокурсники, 35% студентов учатся на втором курсе; на третьем и четвертом курсах их 20% и 15%, соответственно. По данным деканатов известно, что на первом курсе 20% студентов сдали сессию только на "отлично"; на втором - 30%, на третьем – 35%, на четвертом - 40% отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он первокурсник.
24. В одной студенческой группе обучаются 24 студента, во второй - 36 студентов, в третьей - 40 студентов. По теории вероятностей получили отличные оценки 6 студентов первой группы, 6 студентов второй группы, и 4 студента третьей группы. Наудачу выбранный студент оказался получившим по теории вероятностей оценку "отлично". Какова вероятность того, что он учится во второй группе?
25.Частица пролетает мимо трех счетчиков, причем она может попасть в каждый их них с вероятностью 0,3; 0,2; 0,4. В свою очередь, если частица попадает в первый счетчик, то она регистрируется с вероятностью 0,6, во второй с вероятностью 0,5 и в третий с вероятностью 0,55. Найти вероятность того, что частица будет зарегистрирована.
26.Имеется три партии ламп по 20, 30, 50 штук каждая. Вероятность того, что лампы проработают заданное время, равна для каждой партии соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Какова вероятность того, что выбранная лампа проработают заданное время.
27.Большая популяция людей разбита на 2 группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богатой насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечно-сосудистых заболеваний в этих группах составило 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе.
28. Три завода выпускают одинаковые изделия, причем первый завод производит 50%, второй - 20%, третий – 30% всей продукции, первый завод 1% брака, второй завод 8% и третий 3%. Наудачу выбранное изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что изделие изготовлено на втором заводе.
29. Три машинистки перепечатывали рукопись. 1-я напечатала 1/3 всей рукописи, 2-я - 1/4, 3-я – остальную часть рукописи. Вероятность того, что 1-я машинистка сделает ошибку, равна 0,15, 2-я - 0,1, 3-я –0,1. При проверке была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошибка допущена 1-й машинисткой.
30.В ящике находятся изделия, сделанные на трех станках: 20 – на первом станке, 18 - на втором и 14 - на третьем. Вероятности того, что изделия, изготовленные на первом, втором и третьем станках, от личного качества, соответственно, равны 0,7;0,85; 0,9. Взятое наудачу изделие оказалось отличного качества. Какова вероятность того, что оно изготовлено на втором станке?
31.Часы изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40% продукции, второй - 45%, а третий - 15 %. В продукции первого завода не спешат 80% часов, второго - 70% и третьего- 90%. Какова вероятность того, что купленные часы спешат?
32. Электролампы поставляются магазину тремя заводами. В очередной раз первый завод поставил 100 шт., второй - 150 шт., а третий - 200 шт. Продукция первого завода содержит 97% стандартных ламп, второго - 98%. Продукция третьего завода содержит только стандартные изделия. Определить вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется нестандартной.
33. Количество продукции, поступающей на механическую обработку от трех литейных цехов, определяется соотношением 3:4:5. На 100 единиц продукции первого цеха приходится в среднем 3 единицы брака, второго и третьего цехов, соответственно, 2 и 4 единицы. Наудачу взятая отливка оказалась годной. Какова вероятность того, что она отлита во втором цехе?
34. На двух станках изготавливают одинаковые детали. Вероятность того, что изготовленная деталь стандартная, для первого станка равна 0,8; для второго - 0,9. Производительность второго станка вдвое больше производительности первого. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной?
35. На трех поточных линиях производятся одинаковые изделия, которые поступают в службу контроля качества. Производительность первой поточной линии вдвое больше производительности второй и вдвое меньше производительности третьей поточной линии; причем первая линия в среднем производит 50% изделий высшего сорта, вторая - 80%, третья - 30%. Наугад взятое на проверку изделие оказалось высшего сорта. Какова вероятность того, что это изделие произведено на второй поточной линии?
36. Среди студентов академии 30% - первокурсники, 35% студентов учатся на втором курсе; на третьем и четвертом курсах их 20% и 15%, соответственно. По данным деканатов известно, что на первом курсе 20% студентов сдали сессию только на "отлично"; на втором - 30%, на третьем – 35%, на четвертом - 40% отличников. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он первокурсник.
37. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает в среднем 98% годных деталей, второй - 99%, а третий - 97%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если она выбрана случайным образом а производительность автоматов одинакова.
38. Первый заготовительный цех изготовил 1000 деталей, второй в2 раза больше, а третий столько, сколько первые два. вместе взятые. При этом продукция первого цеха содержит 0,3 % брака, второго - 0,2 % и третьего - 0,4 % брака. Все детали общей партией поступают на сборку. Наудачу берут одну деталь. Найти вероятность того, что она годная.
39. Литье в болванках поступает из трех заготовительных цехов: 60 штук из первого цеха, а из второго и третьего, соответственно, в 2 и 4 раза больше, чем из первого. При этом материал первого цеха имеет 1% брака, второго - 2%, а третьего - 2,5%. Найти вероятность того, что наудачу взятая болванка окажется без дефектов.
40. В одной студенческой группе обучаются 24 студента, во второй - 36 студентов, в третьей - 40 студентов. По теории вероятностей получили отличные оценки 6 студентов первой группы, 6 студентов второй группы, и 4 студента третьей группы. Наудачу выбранный студент оказался получившим по теории вероятностей оценку "отлично". Какова вероятность того, что он учится во второй группе?
41. Вероятность того, что изготовленная на конвейере деталь стандартная, равна 0,92. Найти вероятность того, что из 400 изготовленных на конвейере деталей 360 окажутся стандартными.
42. Завод сортовых семян выпускает семена кукурузы. Известно, что семена первого сорта составляют 95%. Определить вероятность того, что из взятых на проверку 450 семян от 100 до 420 будут первого сорта.
43.Некоторое электронное устройство выходит из строя из-за отказа определенной микросхемы с вероятностью, равной 0,005. Какова вероятность того, что из 1000 электронных устройств у трех откажет микросхема?
44.Производятся независимые испытания, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью, равной 0,001. Какова вероятность того, что при 2000 испытаниях событие А появится не менее двух и не более четырех раз.
45.Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Какова вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.
46. Всхожесть семян некоторого растения составляет 90%. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдет не менее четырех.
47. В ящике 100 яблок. Из них 10 поражена болезнью в скрытой форме. Последовательно без возвращения достают пять яблок. Какова вероятность того, что здоровыми будут не менее 4 яблок.
48. Волки убивают 10 % здоровых лосей. Какова вероятность того, что среди пяти убитых лосей больных не менее четырех.
49. Вероятность того, что лампа остается неисправной после 1000 часов работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что из пяти ламп не менее трех останутся исправными после 1000 часов работы.
50. Вероятность того, что каждый день для данной местности будут солнечным. Составляет 0,8. Найти вероятность того, что из 5 дней, проведенных отдыхающим в этой местности, не менее половины будут солнечным.
51. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит точно два вызова.
52. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделия повредится, равна 0,002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.
53. Вероятность поражения цели стрелком при одиночном выстреле равна р=0,2. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена ровно 20 раз.
54. На опытном поле посеяно 1500 семян. Найти вероятность события, состоящего в том, что всходы дадут ровно 1200 семян, если условно считать, что каждое зерно взойдет с вероятностью 0,9.
55. Вероятность изготовления бракованной отливки равна 0,002. Определить вероятность, того, что среди выпущенных 500 отливок количество бракованных составит более двух.
56. Вероятность того, что изделие не прошло проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных изделий окажутся непроверенными от 70 до 100 изделий.
57. В лаборатории из партии семян, имеющих всхожесть 90%, высеяно 600 семян. Найти вероятность того, что число семян, давших всходы не менее 520 и не более 570.
58. Вероятность своевременного выполнения заказа цехами службы быта равна 0,75. Найти вероятность того, что из 160 заказов своевременно выполнят не менее 110.
59. При установившемся технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 70% продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760?
60. Вероятность того, что пара обуви взятая из изготовленной партии, окажется 1-го сорта, равна 0,7. Определить вероятность того, что среди 2100 пар, поступивших на контроль, число пар первосортной обуви окажется не менее 100 и не более 1500.
В задачах 61 – 80 две независимые дискретные величины Х и Y заданы своими законами распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины Z = 3X – 2Y
61. Х -6 8 9 10 Y -8 2
Р 0,1 0,1 0,6 0,2 Р 0,4 0,6
62. Х -2 -1 0 3 Y -3 2
Р 0,2 0,5 0,1 0,2 Р 0,3 0,7
63. Х -5 -4 -2 3 Y -8 -1
Р 0,1 0,5 0,2 0,2 Р 0,7 0,3
64. Х -6 -3 2 1 Y -2 8
Р 0,3 0,3 0,2 0,2 Р 0,2 0,8
65. Х -4 -2 -1 3 Y -3 -1
Р 0,1 0,3 0,2 0,4 Р 0,4 0,6
66. Х -2 0 1 4 Y 1 3
Р 0,5 0,1 0,2 0,2 Р 0,2 0,8
67. Х -27 -5 -2 3 Y -3 4
Р 0,4 0,4 0,1 0,1 Р 0,1 0,9
68. Х -1 2 4 8 Y -2 1
Р 0,2 0,5 0,1 0,2 Р 0,8 0,2
69. Х -8 -6 -1 5 Y 3 7
Р 0,5 0,1 0,2 0,2 Р 0,2 0,8
70. Х -2 1 3 8 Y 7 10
Р 0,1 0,1 0,3 0,5 Р 0,1 0,9
71. Х -7 0 2 6 Y -3 2
Р 0,5 0,1 0,3 0,1 Р 0,3 0,7
72. Х -4 -1 3 8 Y 1 4
Р 0,1 0,6 0,2 0,1 Р 0,6 0,4
73. Х -5 -2 3 7 Y 1 5
Р 0,1 0,3 0,2 0,4 Р 0,2 0,8
74. Х -3 -1 0 2 Y -3 2
Р 0,3 0,2 0,2 0,3 Р 0,5 0,5
75. Х -8 -6 -1 3 Y 2 8
Р 0,1 0,3 0,2 0,4 Р 0,3 0,7
76. Х -2 -1 3 8 Y 1 5
Р 0,1 0,5 0,2 0,2 Р 0,7 0,3
77. Х -3 0 2 7 Y 3 4
Р 0,1 0,6 0,2 0,1 Р 0,2 0,8
78. Х -5 1 2 4 Y 2 3
Р 0,2 0,3 0,1 0,4 Р 0,4 0,6
79. Х -3 2 4 6 Y 3 7
Р 0,3 0,2 0,2 0,3 Р 0,9 0,1
80. Х -3 -7 1 2 Y 2 4
Р 0,1 0,2 0,3 0,4 Р 0,3 0,7
В задачах 81 – 100 случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей F(x). Найти: а) вероятность попадания случайной величины Х в интервал 
; б) плотность распределения вероятностей случайной величины Х; в) математическое ожидание случайной величины Х.
0 при х £ -1,
81. F(x) = 
(х + 1)2 при -1< х £ 1,
1 при х > 1;
0 при х £ 0,
82. F(x) = 
х2 + 
х при 0< х £ 1,
1 при х > 1;
0 при х £ -2,
83. F(x) = 
(х + 2)2 при -2< х £ 1,
1 при х > 1;
0 при х £ 0,
84. F(x) = х2 + 
х при 0< х £ 1,
1 при х > 1;
0 при х £ 0,
85. F(x) = 
х2+ 
х при 0< х £ 1,
1 при х > 1;
0 при х £ -2,
86. F(x) = 
(х + 2)2 при -2< х £ 2,
1 при х > 2;
0 при х £ -1,
87. F(x) = (х + 1)2 при -1< х £ 2,
1 при х > 2;
0 при х £ 0,
88. F(x) = 
х2 + 
х при 0< х £ 1,
1 при х > 1;
0 при х £ ,
89. F(x) = (х - )2 при < х £ 
,
1 при х > ;
0 при х £ 0,
90. F(x) = 
х2 + 
х при 0< х £ 2,
1 при х > 2;
0 при х £ 0,
91. F(x) = 
х2 + 
х при 0< х £ 1,
1 при х > 1;
0 при х £ 0,
92. F(x) = 
х2 + 
х при 0< х £ 3,
1 при х > 3;
0 при х £ -2,
93. F(x) = 
(х + 2)2 при -2< х £ 5,
1 при х > 5;
0 при х £ ,
94. F(x) = (х - )2 при < х £ 
,
1 при х > ;
0 при х £ -1,
95. F(x) = (х + 1)2 при -1< х £ 3,
1 при х > 3;
0 при х £ 0,
96. F(x) = 
х2 + х при 0< х £ 1,
1 при х > 1;
0 при х £ - ,
97. F(x) = (х + )2 при - < х £ ,
1 при х > ;
0 при х £ 0,
98. F(x) = х2 + 
х при 0< х £ 1,
1 при х > 1;
0 при х £ 0,
99. F(x) = х2 + 
при 0< х £ 1,
1 при х > 1;
0 при х £ -1,
100. F(x) = 
(х + 1)2 при -1< х £ 4,
1 при х > 4.
В задачах 101 – 120 предполагается, что случайные отклонения контролируемого размера детали, изготовленной станком-автоматом, от проектного размера подчиняются нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением s (мм) и математическим ожиданием а =0. Деталь, изготовленная станком-автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного по абсолютной величине не превышает т (мм). Сколько процентов годных деталей изготовляет станок?
101. т = 15, s = 7; 111. т = 40, s = 22;
102. т = 18, s = 10; 112. т = 60, s = 35;
103. т = 20, s = 10; 113. т = 50, s = 30;
104. т = 6, s = 3; 114. т = 35, s = 17;
105. т = 8, s = 5; 115. т = 45, s = 20;
106. т = 17, s = 10; 116. т = 28, s = 16;
107. т = 12, s = 8; 117. т = 32, s = 18;
108. т = 40, s = 18; 118. т = 44, s = 20;
109. т = 25, s = 12; 119. т = 50, s = 28;
110. т = 30, s = 18; 120. т = 38, s = 16.
