Введём двумерное нормальное распределение случайного вектора 
.
Пусть координаты 
и 
случайного вектора являются случайными величинами, распределёнными по нормальному закону, т.е. имеют плотности распределения 
и 
. Если и являются независимыми случайными величинами, то 
, и в этом случае плотность распределения двумерного нормального распределения имеет вид 
. В общем случае вектор имеет (невырожденное) двумерное нормальное распределение, если его плотность распределения определяется формулой 
, где функция двух переменных 
есть положительно определённая квадратичная форма (т.е. 
для любых 
).
Двумерное нормальное распределение зависит от пяти параметров:
– координат 
и 
вектора 
, называемого вектором математических ожиданий вектора ;
– координат 
и 
вектора 
, называемого вектором средних квадратических отклонений вектора ;
– числа 
, называемого коэффициентом корреляции случайных величин 
и 
.
словные вероятности и плотности вероятностей. Независимость случайных величин.
Условным законом распределения случайной величины, входящей в систему, называется её закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение.
Условные функции распределения случайных величин 
и 
, входящих в систему, обозначаются 
и 
, а условные плотности распределения – 
и 
.
Теорема умножения плотностей распределения: 
или 
.
Для независимых случайных величин 
или 
.
– условная вероятность.
Случайные величины и называют независимыми, если совместная функция распределения 
является произведением одномерных функций распределения 
и 
: 
. В противном случае случайные величины называют зависимыми.
Для независимых случайных величин и события 
и 
являются независимыми. Покажем, что независимыми являются и все события 
и 
. Действительно, в силу независимости и , свойства 5 двумерной функции распределения (
) и свойства 3 одномерной функции распределения (
) имеем 
, что и означает независимость событий и .
Теорема: Для того, чтобы непрерывные случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для всех 
и 
.
Доказательство: I.Необходимость. Пусть случайные величины и независимы. Тогда, согласно определению . Имеем: 
.
II.Достаточность.. Теорема доказана.
Теорема: Дискретные случайные величины и являются независимыми тогда и только тогда, когда для всех возможных значений 
и 
.
Случайные величины 
, заданные на одном и том же вероятностном пространстве, называют независимыми в совокупности, если 
.
