Дисперсия и её свойства.
– центрированная случайная величина (отклонение 
от 
), 
.
Дисперсией случайной величины 
называется математическое ожидание квадрата отклонения от .
Свойства дисперсии:
1. 
;
2. 
, где 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
Доказательство: 
, ч.т.д.
6. 
– ковариация (
, 
, когда 
независимы).
– среднее квадратичное (квадратическое отклонение) случайной величины 
.
– нормированная случайная величина.
– стандартная случайная величина 
.
Моменты случайной величины.
Моментом 
порядка случайной величины 
называется математическое ожидание величины 
: 
.
Если 
, то момент называется начальным. Легко видеть, что начальный момент первого порядка есть математическое ожидание величины 
.
Если 
, то момент называется центральным. Легко видеть, что центральный момент первого порядка равен нулю, а центральный момент второго порядка есть не что иное, как дисперсия.
Начальные моменты будем обозначать буквой 
, а центральные – буквой 
, указывая в обоих случаях нижним индексом порядок момента.
– коэффициент асимметрии.
– коэффициент эксцесса.
Мода для дискретного распределения – точка с максимальной вероятностью, а для непрерывного – точка максимума распределения (плотность в ней достигает максимального значения): 
.
– квантиль распределения порядка 
.
– медиана распределения.
Для НСВ квантиль определяется однозначно. Для ДСВ понятие квантили не рассматривается. Вероятность попадания величины слева и справа от медианы одинакова: 
.
сновные законы распределения: нормальный, равномерный, биномиальный, показательный, Пуассона.
1. Нормальный закон (для НСВ).
Случайная величина распределена по нормальному (или гауссову) закону, или имеет нормальное (гауссово) распределение, если её плотность 
. Нормальное распределение зависит от двух параметров: 
и среднего квадратического отклонения 
, 
.
2. Равномерный закон (для НСВ).
Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке 
, если её плотность распределения 
. В данном случае 
.
3. Биномиальный закон (для ДСВ).
Дискретная случайная величина 
распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 
в соответствии с распределением, заданным формулой 
. Здесь 
.
4. Показательный закон (для НСВ).
Случайная величина распределена по показательному (экспоненциальному) закону, если она имеет плотность распределения 
, где 
– параметр экспоненциального распределения; 
.
5. Закон Пуассона (для ДСВ).
ДСВ 
распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями 
; 
.
