Металлы и сплавы в металлургии производят преимущественно в жидком виде. В качестве металлургических сосудов используют агрегаты (конвертеры, дуговые сталеплавильные печи и др.), миксеры, ковш, изложницы, шлаковые чаши и т.п.
Для слива металла многие сосуды приходится кантовать, а для расчета привода кантования необходимо определять статический момент сопротивления повороту сосуда от силы тяжести жидкого металла в нем. По мере слива металла меняются его объем и координаты центра тяжести, соответственно изменяется и статический момент сопротивления.
Координаты центра тяжести жидкого металла в общем случае определяются по формулам:
; 
; 
, (57)
где V – объем металла, ограниченный плоскостью его поверхности и внутренней поверхностью сосуда.
Известные графоаналитические методы расчета объема и координат центра тяжести жидкого металла отличаются значительной трудоемкостью и невысокой точностью [9]. Рассмотрим универсальный метод решения задачи с использованием ЭВМ [10].
Полость сосуда имеет плоскость симметрии, перпендикулярную поверхности металла, с которой совмещается плоскость координат XOY (рисунок 27). Для решения задачи должно быть задано уравнение боковой поверхности сосуда: zп=f(x, y). Положение плоскости “зеркала” металла характеризуется углом j.
    |
Рисунок 27 – Расчетная схема металлургического сосуда
Идея метода заключается в следующем. Объем жидкого металла горизонтальными и вертикальными сечениями разбивается на элементарные призмы, перпендикулярные плоскости координат XOY. На рисунке 27 показана элементарная призма со стороной основания D и длиной 2 zп, выделенная горизонтальным сечением на расстоянии y и вертикальным сечением на расстоянии х. Площадь основания призмы S=D´D, а объем – V=2D2zп, где zп – длина полупризмы, определяемая по выражению:
, (58)
где Ry – радиус окружности в сечении сосуда на расстоянии y.
Величина zп будет изменяться для каждой призмы. Тогда, если в формулах (57) перейти от интегралов к суммам, то координаты центра тяжести жидкого металла можно вычислить по выражениям:
; 
. (59)
Объем металла для заданного угла наклона j его поверхности:
, (60)
где 
- сумма полудлин призм по всему объему жидкого металла, определяемая как
, (61)
где yн, yк, хн, хк – начальные и конечные координаты, характеризующие расположение горизонтальных и вертикальных сечений в объеме жидкого металла.
Масса жидкого металла в сосуде для заданного угла наклона j его поверхности вычисляется как
m = rVj. (62)
В качестве примера рассмотрим решение задачи для кислородного конвертера, так как объемные тела, которые выделяются в конвертере, могут встретиться и при решении задачи для других металлургических сосудов.
Расчетная схема приведена на рисунке 28. На нем обозначены следующие части, на которые можно разбить объем жидкого металла в конвертере: 1 – верхний конический пояс; 2 – цилиндрический пояс; 3 – нижний конический пояс; 4 – сферический сегмент, усеченные плоскостью поверхности жидкого металла.
Рисунок 28 – Расчетная схема конвертера
Рассмотрим определение координат центра тяжести для каждой из перечисленных частей. На рисунке 29 представлена расчетная схема цилиндрического пояса.
Для данной фигуры радиус окружности для любого сечения y постоянен и равен:
Ry = Rб.
где Rб – радиус цилиндрической части.
Рисунок 29 – Цилиндрический пояс
Начальные и конечные координаты, характеризующие расположение горизонтальных и вертикальных сечений в объеме жидкого металла, вычисляются по выражениям:
yн = 0; yк = hц ; xн = Rб ; xк = x0 + 
,
где hц – высота цилиндрической части;
х0 - координата, определяющая положение плоскости металла в сечении y=0;
y - текущая координата, характеризующая расположение горизонтального сечения, изменяющаяся с шагом D, т.е. y = y + D.
Текущая координата, характеризующая расположение вертикального сечения, изменяется с шагом (- D):
x = x - D.
Длина полупризмы zп вычисляется по формуле (59).
Блок-схема алгоритма нахождения координат центра тяжести, объема и массы жидкого металла в цилиндрической части приведена на рисунке 30.
 |
Рисунок 30 – Блок-схема алгоритма для цилиндрического пояса
Рассматриваем нижний конический пояс (рисунок 31).
Рисунок 31 – Конический пояс
В коническом поясе величина Ry будет переменной для каждого горизонтального сечения:
Ry = Rд + 
,
где Rд – радиус донной части конвертера;
a - угол наклона образующей конического пояса:
,
где hк – высота конического пояса.
Тогда, Ry = Rд + 
.
Остальные расчетные формулы имеют вид:
yн = 0; yк = hк ; y = y + D;
xн = Ry ; xк = x0 + ; x = x - D.
Блок-схема алгоритма для конического пояса приведена на рисунке 32.
Рисунок 32 – Блок-схема алгоритма для конического пояса
Рассматриваем шаровой сегмент. Расчетная схема приведена на рисунке 33.
    |
Рисунок 33 – Шаровой сегмент
В шаровом коническом сегменте величина Ry также будет переменной для каждого горизонтального сечения:
,
где Rш - радиус шарового сегмента.
Расчетные формулы:
yн = y0; yк = hш ; y = y + D;
xн = Ry ; xк = x0 + 
; x = x - D,
где hш – высота шарового сегмента;
y0 - координата, определяющая начальное положение плоскости металла.
Блок-схема алгоритма для шарового сегмента приведена на рисунке 34.
 |
Рисунок 34 – Блок-схема алгоритма для шарового сегмента
Координаты центра тяжести всего жидкого металла в конвертере определяются по формуле:
; 
, (63)
где 
, 
, mi – координаты центра тяжести и масса жидкого металла в i -й части конвертора.
Масса металла в конвертере для заданного угла поворота j:
. (64)
Численные методы решения
