Определение оптимальных параметров привода

МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИХ МАШИН

 

 

При проектировании металлургических машин приходится определять параметры привода, т.е. мощность электродвигателя и передаточное число редуктора. При этом необходимо стремиться к оптимизации данных параметров.

В общем виде любая машина может быть представлена как совокупность трех компонентов (рисунок 18): двигатель (Д), передаточное устройство (ПУ) (редуктор), ведомое звено (ВЗ) (рабочий орган). Характеристиками указанных компонентов являются:

М_н – номинальный момент двигателя;

I_д – момент инерции якоря двигателя;

i – передаточное число редуктора;

М_в – момент статических сопротивлений, приложенный к ведомому звену;

I_в – момент инерции ведомого звена.

 

 

 

 

Рисунок 18 - Структурная схема машины

 

 

При проектировании машины неизвестными являются параметры двигателя и редуктора - М_н, I_д, i. Момент инерции двигателя I_д может быть связан с его номинальным моментом М_н эмпирической зависимостью [8]:

 

I_д = А М_н^с,

 

где А, с – константы, приведенные в литературе [8].

 

Таким образом, число неизвестных параметров уменьшается до двух - М_н, i. Для нахождения указанных параметров обычно задаются некоторыми условиями на проектирование машины [8], которым соответствуют уравнения, выводимые из дифференциального уравнения движения машины. Рассмотрим решение задачи для машин кратковременного и повторно-кратковременного режима работы, для которых наиболее распространенными условиями на проектирование являются: “Ускорение ведомого звена задано”, “Рабочее время цикла должно быть минимальным”. Указанным условиям соответствует система уравнений:

 

(41)

 

где l – средняя кратность пускового момента двигателя М_п, ;

b – отношение номинального момента двигателя к моменту статических сопротивлений, приложенных к ведомому звену, ;

a, d₁, d₂ - константы, зависящие от параметров ведомого звена и двигателя;

h - кпд механизма.

В уравнениях (41) три неизвестные величины l, b, i, поэтому для их нахождения поступают следующим образом. Предварительно выбирают тип двигателя, для которого по данным [8] задаются значением средней кратности пускового момента двигателя l=l₀. Тогда, двух уравнений (41) достаточно для определения двух величин b, i. Далее приравниваются правые части уравнений (41), решая которые приходят к одному уравнению вида b=f(i).

Выполним описанные действия. Введем обозначение:

 

B = ab^ci²h,

 

т.е. . (42)

 

Тогда, приравнивая правые части уравнений (41) с учетом (42) получаем:

 

. (43)

 

После сокращения на bhi и умножения на d₁d₂i² выражение (43) принимает вид:

 

.

 

Раскрываем скобки и упрощаем:

 

;

 

;

 

;

 

;

 

;

 

;

 

;

 

.

 

Тогда, с учетом (42) получаем зависимость b=f(i):

 

. (44)

 

Полученное уравнение (44) и любое из уравнений (41) образуют систему вида:

 

поиск решения которой выполняется методом последовательных приближений (метод итераций) [8].

Метод последовательных приближений заключается в следующем. Значение передаточного числа i изменяется от нижнего предела i_н до верхнего предела i_в с шагом Di. При этом на каждом шаге по уравнению (46) вычисляется значение b, а по уравнению (45) – значение l. Процесс вычисления повторяется до тех пор, пока полученное значение l не приблизится к заданному значению l₀ с принятой степенью точности e. Найденное при этом значение передаточного числа редуктора будет являться оптимальным i₀.

Нижнее предельное значение i_н передаточного числа можно принять равным 1. Верхнее предельное значение i_в определяется из (44). Так как отношение номинального момента двигателя к моменту статических сопротивлений, приложенных к ведомому звену, b есть величина положительная (b> >0), то, исходя из уравнения (44):

 

.

 

Тогда, верхнее предельной значение i_в передаточного числа равно

 

.

 

Степень точности e решения зависит от величины шага Di, поэтому удобно начинать поиск решения с большого шага Di = (i_в - i_н)/10, а далее при необходимости уменьшать шаг Di. Степень точности e можно принимать из ряда 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

Графическая интерпретация метода последовательных приближений приведена на рисунке 19. Блок-схема алгоритма решения представлена на рисунке 20.

После ввода исходных данных переменной i присваивается значение i_н, вычисляются значения величин b и l₁. Далее текущее значение i увеличивается на шаг Di и проверяется условие достижения верхнего предела i_в. Если i_в достигнуто, а значения i₀ и b₀ не найдены, то выдается сообщение “Решения нет”.

Если i_в не достигнуто, то для текущего значения i вычисляются значения величин b и l.

Найденное текущее значение l может быть больше или меньше заданного значения l₀. Поэтому для проверки перехода через значение l₀ используются две переменные h и g. Переменная h – это разность между предыдущим значением l₁ и заданным значением l₀ кратности пускового момента l. Переменная g – это разница между текущим и заданным значением кратности, т.е. l - l₀. Если предыдущее и текущее значения кратности l находятся по одну сторону от заданного значения l₀, то произведение разностей h×g будет положительным, в противном случае – отрицательным.

 

 

а б

 

а - b = f(i); б - l = f(b, i)

 

Рисунок 18 – Графическая интерпретация метода последовательных приближений

 

 

Если произведение разностей h×g положительно, то переприсваивается предыдущее значение кратности l, и цикл вычислений, описанных выше, повторяется. В случае, когда произведение h×g стало отрицательным, т.е. произошел переход текущего значения l через l₀, выполняется проверка достижения значения l₀ с принятой степенью точности e. Если степень точности не достигнута, то происходит возврат к предыдущему значению i, шаг Di уменьшается и циклические вычисления b и l повторяются.

При достижении принятой степени точности e  текущие значения i, b, l являются решением уравнений (45)-(46) и определяют оптимальное передаточное число i₀ редуктора и соответствующие ему отношение b₀ и кратность l₀.

Систему уравнений (45)–(46), соответствующих принятым условиям проектирования машины, можно решить и одним из численных методов поиска корней уравнений, рассмотренных в разделе 4.

Для этого в уравнение (45) необходимо вместо b подставить выражение (46) и привести первое к виду F(i)=0.

Для рассматриваемых условий уравнение F(i)=0 принимает вид:

 

 

 

 

Рисунок 19 - Блок-схема алгоритма метода последовательных приближений

 

. (47)

 

Корнем уравнения (47) является оптимальное передаточное число редуктора i₀. В качестве интервала локализации корня принимается диапазон [ i_н; i_в ]. Для решения уравнения (47) лучше всего использовать метод деления отрезка пополам (31)–(34), блок-схема алгоритма которого приведена на рисунке 12. По найденному значению i₀ по выражению (44) вычисляется значение b₀.