Сызықтық операторларға амалдар қолдану

 

n 1. Сызықтық операторлар жиыны.

Сызықтық операторлардың теңдігі

 

F өрісінде берілген n өлшемді V векторлық кеңістігіне әсер ететін сызықтық операторлардың жиынын L(V ) деп белгілейік. Сонда

L(V ) = | : V V & – сызықтық .

Сызықтық операторлардың теңдігі, әдеттегіше, бейнелеулердің теңдігі ретінде анықталады: , L(V )

def

( = ) ( х V (х) = (х)) (*)

Егер екі сызықтық оператор тең болса, онда белгілі – бір базистегі олардың матрицалары да тең болады: .

 

 

n 2. Сызықтық операторларды қосу

 

Айталық, , L(V ) болсын. Мынадай заңдылық анықтайық:

( + ) (х) = (х) + (х), х V (4)

Осы анықталған + заңдылығы мен сызықтық операторларының қосындысы деп аталады.

 

Лемма. + қосындысы сызықтық оператор болады.

Дәлелдеу. х V үшін (х) және (х) векторлары бірмәнді анықталған, себебі , – сызықтық операторлар. Векторлық кеңістікте + БАО болғандықтан, (х) + (х) векторы да бірмәнді анықталады. Онда + заңдылығы бейнелеу (оператор) болады. Сызықтық болатынын көрсетейік.

(4) , с.оп.

( + )( х+ у) = ( х+ у) + ( х + у) = (х)+ (у)+ (х)+ (у)= =|в.к.акс. | = ( (х)+ (х)) + ( (у)+ (у)) = |(4) бой. |= ( + )(х)+ ( + )(у).

Онда + L(V ).

Анықтама. Берілген және сызықтық операторларына + сызықтық операторын сәйкестікке қоятын амалды сызықтық операторларды қосу амалы деп атайды.

Сонымен, L(V ) жиынында + БАО-сы анықталды.

Қосынды + сызықтық оператордың матрицасын анықтайық. V кеңістігі- нің қандай да бір е , е ,..., е базисіндегі сызықтық операторының матрицасы А , сызықтық операторының матрицасы А болсын. Қосынды

+ сызықтық операторының осы базистегі матрицасын А деп белгілейік

Онда (2¢) бойынша = А ; екінші жағынан, (4) бойынша

||

= + = А + А = =|матрицаларды көбейту қосуға қатысты дистрибутивті болғандықтан| =

=(А + А ) ; бұдан, вектордың базис арқылы жіктелуінің бірмәнділігінен, екі жіктелудің коэффициенттерінің теңдігі шығады: А = А + А . (*)

(Соңғы теңдікті өзіңіз сөзбен оқыңыз).

L(V ) жиынында анықталған + БАО-ның төмендегідей қасиеттері бар:

1 . , L(V ) + = +

2 . , , L(V ) ( + )+ = +( + )

3 . L(V ) + =

4 . L(V ) (– ) L(V ) +(– ) = .

Бұл қасиеттерді өздеріңіз дәлелдеңіз. Нұсқау. 4 қасиетте алдымен (– ) заңдылығын анықтап алу керек, сонан кейін оның сызықтық екенін көрсету керек, соңында -ге қарама-қарсы болатынын дәлелдеу керек.

Анықталған (4) амалдың қасиеттерінен L(V ) жиыны абельдік группа болатыны шығады: L(V ), + – абельдік группа.

 

n 3. Сызықтық операторды скалярға көбейту

 

Айталық, L(V ), F болсын. Мынадай заңдылық анықтайық:

( )(х) = (х), х V (5)

Осы анықталған заңдылығы сызықтық операторының скалярына көбейтіндісі деп аталады.

 

Лемма. (5) формуламен анықталған заңдылығы сызықтық оператор болады.

Дәлелдеу. сызықтық оператор болғандықтан х V үшін (х) векторы бірмәнді анықталған. Векторлық кеңістіктегі скалярға көбейту амалының берілуінен (х) векторы да бірмәнді анықталатыны шығады. Онда заңдылығы бейнелеу (оператор) болады. Сызықтық болатынын көрсетейік.

(5) с.о. в.к.акс.

( )( х+ у) = ( х+ у) = ( (х) + (у)) = (х) + (у) = = |в.к.акс.| = ( (х)) + ( (у)) = |(5) бой.| = ( )(х) + ( )(у).

Онда L(V ).

Анықтама. Берілген сызықтық операторына сызықтық операторын сәйкестікке қоятын амалды сызықтық операторды скалярға көбейту амалы деп атайды.

Ескерту. Анықталған скалярға көбейту амалы L(V ) жиынында сыртқы амал болады.

Осы сызықтық операторының матрицасын анықтайық. V кеңістігінің қандай да бір е , е ,..., е базисіндегі сызықтық операторының матрицасы А болсын. Анықталған сызықтық операторының осы базистегі матрицасын А деп белгілейік.

Онда (2¢) бойынша = А ; екінші жағынан, (5) бойынша

||

= = А ; бұдан, вектордың базис арқылы жіктелуінің бірмәнділігінен, екі жіктелудің коэффициенттерінің теңдігі шығады: А = А . (Теңдікті сөзбен оқыңыз).

L(V ) жиынында анықталған скалярға көбейту – сыртқы амалының мынадай қасиеттері бар:

1 . L(V ) F ( =

2 . L(V ) F ( =

3 . , L(V ) F ( + ) = +

4 . L(V ) 1 · = , мұндағы 1 – F өрісінің бірі.

(Қасиеттердің дәлелдеуі өзбетімен).

(4), (5) амалдардың анықтамасы мен олардың қасиеттерінен L(V ) жиынының өзі F өрісінде берілген векторлық кеңістік құрайтыны шығады:

L(V ), +, F – векторлық кеңістік.

Сонда, өрісте берілген векторлық кеңістіктегі сызықтық операторлар жиыны, өзі, сол өрісте берілген векторлық кеңістік құрайды.

 

n 4. Сызықтық операторларды көбейту

 

Айталық, , L(V ) болсын. Мынадай заңдылық анықтайық:

( ) (х) = ( (х)), х V (6)

Осы анықталған заңдылығы мен сызықтық операторларының көбейтіндісі деп аталады.

 

 

Лемма. көбейтіндісі сызықтық оператор болады.

Дәлелдеу. сызықтық оператор болғандықтан, х V үшін (х) векторы бірмәнді анықталған, ал де сызықтық оператор болғандықтан ( (х)) векторы бірмәнді анықталған. Онда заңдылығы бейнелеу (оператор) болады. Оның сызықтық болатынын тексерейік.

(6) с.оп. с.оп. (6)

( )( х+ у)= ( ( х+ у)) = ( (х)+ (у)) = ( (х))+ ( (у)) =

= ( )(х) + ( )(у).

Онда L(V ).

Анықтама. Берілген және сызықтық операторларына сызықтық операторын сәйкестікке қоятын амалды сызықтық операторларды көбейту амалы деп атайды.

Сонымен, L(V ) жиынында · БАО-сы анықталды.

Көбейтінді сызықтық оператордың матрицасын анықтайық. V кеңіс- тігінің қандай да бір е , е ,..., е базисіндегі сызықтық операторының матрицасы А , сызықтық операторының матрицасы А болсын. Көбейтінді сызықтық операторының осы базистегі матрицасын А деп белгілейік.

Онда (2¢) бойынша = А · ; екінші жағынан, (6) бойынша

||

= () = (А ) = | с.оп.|= А () =

= А = А А ; бұдан, вектордың базис арқылы жіктелуінің бірмән- ділігінен, екі жіктелудің коэффициенттерінің теңдігі шығады:

А = А ·А . (**)

Соңғы теңдікті сөзбен оқыңыз.

L(V ) жиынында анықталған · БАО-ның төмендегідей қасиеттері бар:

1 . , , L(V ) ( ) = ( )

2 . , , L(V ) ( + ) = + & ( + ) = +

3 . L(V ) = =

Бұл қасиеттерді өздеріңіз дәлелдеңіз.

Анықталған (4), (6) амалдар мен олардың қасиеттерінен L(V ) жиыны бірі бар сақина болатыны шығады: L(V ), +, · – бірі бар сақина.

Сонда, өрісте берілген векторлық кеңістіктегі сызықтық операторлар жиыны сақина құрайды. Оны сызықтық операторлар сақинасы дейді.

Жоғарыда, §5-те біз, n өлшемді векторлық кеңістіктегі сызықтық операторлар мен n– ші ретті квадрат матрицалар арасында өзара бірмағыналы сәйкестік (биекция) болатынын көрдік. Ал осы §8-гі n 2, n 4 – дің нәтижесінен бұл сәйкестіктің аддитивті және мультипликативті болатыны шықты ((*), (**) формулаларын қара). Онда, сызықтық операторлар сақинасы мен квадрат матрицалар сақинасы изоморфты болғаны:

L(V ), +, · М (F), +, · .