n 
1. Сызықтық операторлар жиыны.
Сызықтық операторлардың теңдігі
F өрісінде берілген n өлшемді V 
векторлық кеңістігіне әсер ететін сызықтық операторлардың жиынын L(V ) деп белгілейік. Сонда
L(V ) = 
| : V 
V & – сызықтық 
.
Сызықтық операторлардың теңдігі, әдеттегіше, бейнелеулердің теңдігі ретінде анықталады: , 
L(V )
def
( = ) 
(
х V (х) = (х)) (*)
Егер екі сызықтық оператор тең болса, онда белгілі – бір базистегі олардың матрицалары да тең болады: 
.
n 2. Сызықтық операторларды қосу
Айталық, , L(V ) болсын. Мынадай заңдылық анықтайық:
( + ) (х) = (х) + (х), х V (4)
Осы анықталған + заңдылығы мен сызықтық операторларының қосындысы деп аталады.
Лемма. + қосындысы сызықтық оператор болады.
Дәлелдеу. х V үшін (х) және (х) векторлары бірмәнді анықталған, себебі , – сызықтық операторлар. Векторлық кеңістікте + БАО болғандықтан, (х) + (х) векторы да бірмәнді анықталады. Онда + заңдылығы бейнелеу (оператор) болады. Сызықтық болатынын көрсетейік.
(4) , с.оп.
( + )(
х+ 
у) = ( х+ у) + ( х + у) = (х)+ (у)+ (х)+ (у)= =|в.к.акс. | = ( (х)+ (х)) + ( (у)+ (у)) = |(4) бой. |= ( + )(х)+ ( + )(у).
Онда + L(V ).
Анықтама. Берілген және сызықтық операторларына + сызықтық операторын сәйкестікке қоятын амалды сызықтық операторларды қосу амалы деп атайды.
Сонымен, L(V ) жиынында + БАО-сы анықталды.
Қосынды + сызықтық оператордың матрицасын анықтайық. V кеңістігі- нің қандай да бір е 
, е 
,..., е базисіндегі сызықтық операторының матрицасы А 
, сызықтық операторының матрицасы А 
болсын. Қосынды
+ сызықтық операторының осы базистегі матрицасын А 
деп белгілейік
Онда (2¢) бойынша 
= А 
; екінші жағынан, (4) бойынша
||
= 
+ 
= А + А = =|матрицаларды көбейту қосуға қатысты дистрибутивті болғандықтан| =
=(А + А ) ; бұдан, вектордың базис арқылы жіктелуінің бірмәнділігінен, екі жіктелудің коэффициенттерінің теңдігі шығады: А = А + А . (*)
(Соңғы теңдікті өзіңіз сөзбен оқыңыз).
L(V ) жиынында анықталған + БАО-ның төмендегідей қасиеттері бар:
1 . , L(V ) + = +
2 . , , 
L(V ) ( + )+ = +( + )
3 . L(V ) + 
=
4 . L(V ) 
(– ) L(V ) +(– ) = .
Бұл қасиеттерді өздеріңіз дәлелдеңіз. Нұсқау. 4 қасиетте алдымен (– ) заңдылығын анықтап алу керек, сонан кейін оның сызықтық екенін көрсету керек, соңында -ге қарама-қарсы болатынын дәлелдеу керек.
Анықталған (4) амалдың қасиеттерінен L(V ) жиыны абельдік группа болатыны шығады: 
L(V ), + 
– абельдік группа.
n 3. Сызықтық операторды скалярға көбейту
Айталық, L(V ), 
F болсын. Мынадай заңдылық анықтайық:
(
)(х) = (х), х V (5)
Осы анықталған заңдылығы сызықтық операторының 
скалярына көбейтіндісі деп аталады.
Лемма. (5) формуламен анықталған заңдылығы сызықтық оператор болады.
Дәлелдеу. сызықтық оператор болғандықтан х V үшін (х) векторы бірмәнді анықталған. Векторлық кеңістіктегі скалярға көбейту амалының берілуінен (х) векторы да бірмәнді анықталатыны шығады. Онда заңдылығы бейнелеу (оператор) болады. Сызықтық болатынын көрсетейік.
(5) с.о. в.к.акс.
( )( х+ у) = ( х+ у) = ( (х) + (у)) = (х) + (у) = = |в.к.акс.| = ( (х)) + ( (у)) = |(5) бой.| = ( )(х) + ( )(у).
Онда L(V ).
Анықтама. Берілген сызықтық операторына сызықтық операторын сәйкестікке қоятын амалды сызықтық операторды скалярға көбейту амалы деп атайды.
Ескерту. Анықталған скалярға көбейту амалы L(V ) жиынында сыртқы амал болады.
Осы сызықтық операторының матрицасын анықтайық. V кеңістігінің қандай да бір е , е ,..., е базисіндегі сызықтық операторының матрицасы А болсын. Анықталған сызықтық операторының осы базистегі матрицасын А 
деп белгілейік.
Онда (2¢) бойынша 
= А ; екінші жағынан, (5) бойынша
||
= = А ; бұдан, вектордың базис арқылы жіктелуінің бірмәнділігінен, екі жіктелудің коэффициенттерінің теңдігі шығады: А = А . (Теңдікті сөзбен оқыңыз).
L(V ) жиынында анықталған скалярға көбейту – сыртқы амалының мынадай қасиеттері бар:
1 . L(V ) 
F (
= 
2 . L(V ) F (
= 
3 . , L(V ) 
F ( + ) = +
4 . L(V ) 1 · = , мұндағы 1 – F өрісінің бірі.
(Қасиеттердің дәлелдеуі өзбетімен).
(4), (5) амалдардың анықтамасы мен олардың қасиеттерінен L(V ) жиынының өзі F өрісінде берілген векторлық кеңістік құрайтыны шығады:
L(V ), +, 
F – векторлық кеңістік.
Сонда, өрісте берілген векторлық кеңістіктегі сызықтық операторлар жиыны, өзі, сол өрісте берілген векторлық кеңістік құрайды.
n 4. Сызықтық операторларды көбейту
Айталық, , L(V ) болсын. Мынадай заңдылық анықтайық:
(
) (х) = ( (х)), х V (6)
Осы анықталған заңдылығы мен сызықтық операторларының көбейтіндісі деп аталады.
Лемма. көбейтіндісі сызықтық оператор болады.
Дәлелдеу. сызықтық оператор болғандықтан, х V үшін (х) векторы бірмәнді анықталған, ал де сызықтық оператор болғандықтан ( (х)) векторы бірмәнді анықталған. Онда заңдылығы бейнелеу (оператор) болады. Оның сызықтық болатынын тексерейік.
(6) с.оп. с.оп. (6)
( )( х+ у)= ( ( х+ у)) = ( (х)+ (у)) = ( (х))+ ( (у)) =
= ( )(х) + ( )(у).
Онда L(V ).
Анықтама. Берілген және сызықтық операторларына сызықтық операторын сәйкестікке қоятын амалды сызықтық операторларды көбейту амалы деп атайды.
Сонымен, L(V ) жиынында · БАО-сы анықталды.
Көбейтінді сызықтық оператордың матрицасын анықтайық. V кеңіс- тігінің қандай да бір е , е ,..., е базисіндегі сызықтық операторының матрицасы А , сызықтық операторының матрицасы А болсын. Көбейтінді сызықтық операторының осы базистегі матрицасын А 
деп белгілейік.
Онда (2¢) бойынша 
= А · ; екінші жағынан, (6) бойынша
||
= () = (А ) = | с.оп.|= А () =
= А = А А ; бұдан, вектордың базис арқылы жіктелуінің бірмән- ділігінен, екі жіктелудің коэффициенттерінің теңдігі шығады:
А = А ·А . (**)
Соңғы теңдікті сөзбен оқыңыз.
L(V ) жиынында анықталған · БАО-ның төмендегідей қасиеттері бар:
1 . , , L(V ) ( ) = ( )
2 . , , L(V ) ( + ) = + 
& ( + ) = +
3 . L(V ) 
= =
Бұл қасиеттерді өздеріңіз дәлелдеңіз.
Анықталған (4), (6) амалдар мен олардың қасиеттерінен L(V ) жиыны бірі бар сақина болатыны шығады: L(V ), +, · – бірі бар сақина.
Сонда, өрісте берілген векторлық кеңістіктегі сызықтық операторлар жиыны сақина құрайды. Оны сызықтық операторлар сақинасы дейді.
Жоғарыда, §5-те біз, n өлшемді векторлық кеңістіктегі сызықтық операторлар мен n– ші ретті квадрат матрицалар арасында өзара бірмағыналы сәйкестік (биекция) болатынын көрдік. Ал осы §8-гі n 2, n 4 – дің нәтижесінен бұл сәйкестіктің аддитивті және мультипликативті болатыны шықты ((*), (**) формулаларын қара). Онда, сызықтық операторлар сақинасы мен квадрат матрицалар сақинасы изоморфты болғаны:
L(V ), +, · 
М (F), +, · .
