Векторлар жүйелері
n 
1. Сызықтық байланысты (СБ) және сызықтық байланыссыз (СБ-сыз)
векторлар жүйелерінің анықтамасы, мысалдары
Айталық, V = 
V, +, 
F 
– F өрісінде берілген векторлық кеңістік, ал а 
, а 
,..., а 
V (1) векторлар жүйесі болсын.
Анықтама. Егер скалярлар өрісінен бәрі бірдей нольге тең болмайтын 
, 
,..., 
скалярлары табылып, а + а +... + а векторы нольдік вектор болса, онда (1) векторлар жүйесін сызықтық байланысты (СБ) дейді.
def
((1) – СБ) 
(
, ,..., 
F а + а +... + а = 0)
СБ ұғымы жазықтықта коллинеар, кеңістікте компланар ұғымдарын береді.
Анықтама. Егер (1) векторлар жүйесінің а + а +... + а сызықтық комбинациясы тек , ,..., скалярларының бәрі ноль болғанда ғана нольдік векторға тең болса, онда ол жүйені СБ-сыз дейді.
def
((1)–СБ-сыз) (
, ,..., F ( а + а +... + а = 0 
=...= = 0))
Мысалдар.
1). F 
– n өлшемді арифметикалық векторлық кеңістіктің а = (
, 0,..., 0),
а = (0, 
,..., 0),
......................,
а 
= (0, 0,..., 
)
векторлары СБ-сыз жүйе болады. Жеке жағдайы, R 
кеңістігінде а = (3,0,0),
а = (0,-5,0),
а 
= (0,0, 
)
векторларының жүйесі СБ-сыз. Бұл кеңістікте (1,0,0),
(0,1,0),
(0,0,1) векторларының жүйесі де СБ-сыз екені түсінікті. Бұлар R кеңістігінің бірлік векторлары.
2). Жазықтықтағы бір О нүктесінен шығатын бағытталған кесінділер кеңістігінің сол О нүктесінен шығатын, өзара перпендикуляр кезкелген екі векторы СБ-сыз жүйе болады.
3). М (R) – 2-ші ретті квадрат матрицалар кеңістігінде
А 
= 
, А 
= 
, А 
= 
, А 
= 
векторлары (матрицалары) СБ-сыз жүйе болады.
n 2. СБ және СБ-сыз векторлар жүйелерінің қасиеттері
1 . Құрамында нольдік вектор бар жүйе СБ болады.
Дәлелдеу. а , 0, а ,..., а векторларының жүйесі берілсін.
F скалярлар өрісінің 0, 
0, 0,..., 0 элементтері үшін
0 а + 0 + 0 а +... + 0 а = 0 д. к. о.
2 . Құрамында өзара тең векторлары бар жүйе СБ болады.
Дәлелдеу. а , а , а ,..., а векторларының жүйесі берілсін.
F скалярлар өрісінің 0, – 0, 0,..., 0 элементтері үшін
а + (– ) а + 0 а +... + 0 а = 0 д. к. о.
3 . Құрамында пропорционал векторлары бар жүйе СБ болады.
Дәлелдеуі өзбетімен.
4 . Егер векторлар жүйесінің қандайда бір ішкі жүйесі СБ болса, онда жүйенің өзі де СБ болады.
Дәлелдеу. а , а ,..., а векторлар жүйесі берілсін.
а ,..., а 
– СБ болсын (i < к). Онда СБ-ң анықтамасы бойынша
,..., 
F а +... + а = 0
,..., , 0,..., 0 F а +... + а + 0а 
+...+ 0а = 0 д.к.о.
Салдар. Егер векторлар жүйесі СБ-сыз болса, онда оның кезкелген ішкі жүйесі де СБ-сыз болады.
5 . (Векторлар жүйесінің СБ – лығының критериі)
Векторлар жүйесі СБ болу үшін оның бір векторы қалғандарының сызықтық комбинациясы болуы қажет және жеткілікті.
Дәлелдеуі өзбетімен (қара, 
1 
, 2 тарау, §2, 48 бет).
6 . Егер а , а ,..., а векторлар жүйесі СБ-сыз болса, ал а , а ,..., а , b
векторлар жүйесі СБ болса, онда b векторы а , а ,..., а жүйесі арқылы сызықтық өрнектеледі.
Дәлелдеуі өзбетімен.
7 . Егер b L(а , а ,..., а ) және i =1,2,…, к а L(v , v ,..., v 
) болса, онда b L(v , v ,..., v ).
(Дәлелсіз қабылдаймыз).
8 . Егер а , а ,..., а 
L(v , v ,..., v ) болса, онда а , а ,..., а – СБ болады.
(Дәлелсіз қабылдаймыз).
Салдар 1. Егер а , а ,..., а L(v , v ,..., v ) және а , а ,..., а – СБ-сыз болса, онда к 
т болады.
Бұл салдарды, кейде, векторлық кеңістіктің негізгі теоремасы деп те айтады.
Салдар 2. Егер а , а ,..., а L(v , v ,..., v ) және к > m болса, онда а , а ,..., а – СБ болады.
Салдар 3. n өлшемді арифметикалық векторлық кеңістікте кезкелген n +1 вектордан (немесе одан да көп вектордан) тұратын жүйе СБ болады.
Мысал. R кеңістігінде а = (2, -3, 1),
а = (3, -1, 5),
а = (1,-4,3) векторларының СБ немесе СБ-сыз болатынын анықтаңыз.
Шығаруы. Анықтама бойынша а + а + 
а = 0 теңдігінен – ларды та – бамыз. Бізге – лардың бәрі ноль ме, әлде нольден өзгелері табыла ма?, соны анықтау керек. Бізге оларды х – тар арқылы белгілеген қолайлы. Сондықтан
х а + х а + х а = 0 теңдеуін шешеміз.
(2 х , -3 х , х ) + (3 х , - х , 5 х ) + (х , -4 х , 3 х ) = (0, 0, 0)
Кортеждерді қосу ережесінен төмендегідей біртекті СТЖ – сін аламыз:
Осы біртекті жүйенің нольдік емес шешулері бар ма, әлде тек нольдік шешу ғана бола ма? Бұл сұраққа жауап беру үшін жүйенің негізгі матрицасының рангсын есептейді. Егер ранг 3-ке тең болса, онда тек нольдік шешу ғана болады; ал ранг 3-тен кіші болса, СТЖ –ң нольдік емес шешулері де болады.
– жүйенің матрицасы. (Берілген векторлармен салыстыр!).
Матрицаның жолдық және бағандық ранглары тең болғандықтан, бұл матрицаның орынына транспонирленген матрицаның рангсын табуға болады.
– транспонирленген матрица. (Берілген векторлармен салыстыр!).
Сонымен, 3 – өлшемді арифметикалық векторлық кеңістікте берілген векторлар жүйесінің СБ не СБ-сыз болатынын анықтау үшін олардың координаталарынан матрица құрып, оның рангсын есептейміз. Егер ранг 3–ке тең болса, онда векторлар жүйесі СБ-сыз болады; ал ранг 3–тен кіші болса, – СБ болады.
«Сызықтық кеңістіктер» тақырыбына әдебиеттер:
1 . Ильин В.А., Позняк Э.Г., Линейная алгебра, М., 1978
2 . Куликов Л.Я., Алгебра и теория чисел, М., 1979
3 . Ляпин Е.С., Евсеев А.Е., Алгебра и теория чисел (часть 2), М., 1978
4 . Мальцев И.А., Линейная алгебра, Санкт-Петербург, 2010
5 . Петрова В.Т., Лекции по алгебре и геометрии (часть 2), М., 1999
6 . Проскуряков И.В., Сборник задач по линейной алгебре, М., 2008
7 . Сызықтық алгебра элементтері (методикалық талдау), Құрастырған
Т.Б.Бұлабаев, А., 1992
