Сызықтық байланысты және сызықтық байланыссыз

Векторлар жүйелері

 

n 1. Сызықтық байланысты (СБ) және сызықтық байланыссыз (СБ-сыз)

векторлар жүйелерінің анықтамасы, мысалдары

 

Айталық, V = V, +, F – F өрісінде берілген векторлық кеңістік, ал а , а ,..., а V (1) векторлар жүйесі болсын.

Анықтама. Егер скалярлар өрісінен бәрі бірдей нольге тең болмайтын , ,..., скалярлары табылып, а + а +... + а векторы нольдік вектор болса, онда (1) векторлар жүйесін сызықтық байланысты (СБ) дейді.

def

((1) – СБ) ( , ,..., F а + а +... + а = 0)

 

СБ ұғымы жазықтықта коллинеар, кеңістікте компланар ұғымдарын береді.

Анықтама. Егер (1) векторлар жүйесінің а + а +... + а сызықтық комбинациясы тек , ,..., скалярларының бәрі ноль болғанда ғана нольдік векторға тең болса, онда ол жүйені СБ-сыз дейді.

def

((1)–СБ-сыз) ( , ,..., F ( а + а +... + а = 0 =...= = 0))

 

Мысалдар.

1). F – n өлшемді арифметикалық векторлық кеңістіктің а = (, 0,..., 0),

а = (0, ,..., 0),

......................,

а = (0, 0,..., )

векторлары СБ-сыз жүйе болады. Жеке жағдайы, R кеңістігінде а = (3,0,0),

а = (0,-5,0),

а = (0,0, )

векторларының жүйесі СБ-сыз. Бұл кеңістікте (1,0,0),

(0,1,0),

(0,0,1) векторларының жүйесі де СБ-сыз екені түсінікті. Бұлар R кеңістігінің бірлік векторлары.

 

 

2). Жазықтықтағы бір О нүктесінен шығатын бағытталған кесінділер кеңістігінің сол О нүктесінен шығатын, өзара перпендикуляр кезкелген екі векторы СБ-сыз жүйе болады.

3). М (R) – 2-ші ретті квадрат матрицалар кеңістігінде

А = , А = , А = , А =

векторлары (матрицалары) СБ-сыз жүйе болады.

 

 

n 2. СБ және СБ-сыз векторлар жүйелерінің қасиеттері

 

1 . Құрамында нольдік вектор бар жүйе СБ болады.

Дәлелдеу. а , 0, а ,..., а векторларының жүйесі берілсін.

F скалярлар өрісінің 0, 0, 0,..., 0 элементтері үшін

0 а + 0 + 0 а +... + 0 а = 0 д. к. о.

2 . Құрамында өзара тең векторлары бар жүйе СБ болады.

Дәлелдеу. а , а , а ,..., а векторларының жүйесі берілсін.

F скалярлар өрісінің 0, – 0, 0,..., 0 элементтері үшін

а + (– ) а + 0 а +... + 0 а = 0 д. к. о.

3 . Құрамында пропорционал векторлары бар жүйе СБ болады.

Дәлелдеуі өзбетімен.

4 . Егер векторлар жүйесінің қандайда бір ішкі жүйесі СБ болса, онда жүйенің өзі де СБ болады.

Дәлелдеу. а , а ,..., а векторлар жүйесі берілсін.

а ,..., а – СБ болсын (i < к). Онда СБ-ң анықтамасы бойынша

,..., F а +... + а = 0

,..., , 0,..., 0 F а +... + а + 0а +...+ 0а = 0 д.к.о.

Салдар. Егер векторлар жүйесі СБ-сыз болса, онда оның кезкелген ішкі жүйесі де СБ-сыз болады.

5 . (Векторлар жүйесінің СБ – лығының критериі)

Векторлар жүйесі СБ болу үшін оның бір векторы қалғандарының сызықтық комбинациясы болуы қажет және жеткілікті.

Дәлелдеуі өзбетімен (қара, 1 , 2 тарау, §2, 48 бет).

6 . Егер а , а ,..., а векторлар жүйесі СБ-сыз болса, ал а , а ,..., а , b

векторлар жүйесі СБ болса, онда b векторы а , а ,..., а жүйесі арқылы сызықтық өрнектеледі.

Дәлелдеуі өзбетімен.

7 . Егер b L(а , а ,..., а ) және i =1,2,…, к а L(v , v ,..., v ) болса, онда b L(v , v ,..., v ).

(Дәлелсіз қабылдаймыз).

8 . Егер а , а ,..., а L(v , v ,..., v ) болса, онда а , а ,..., а – СБ болады.

(Дәлелсіз қабылдаймыз).

Салдар 1. Егер а , а ,..., а L(v , v ,..., v ) және а , а ,..., а – СБ-сыз болса, онда к т болады.

Бұл салдарды, кейде, векторлық кеңістіктің негізгі теоремасы деп те айтады.

Салдар 2. Егер а , а ,..., а L(v , v ,..., v ) және к > m болса, онда а , а ,..., а – СБ болады.

Салдар 3. n өлшемді арифметикалық векторлық кеңістікте кезкелген n +1 вектордан (немесе одан да көп вектордан) тұратын жүйе СБ болады.

Мысал. R кеңістігінде а = (2, -3, 1),

а = (3, -1, 5),

а = (1,-4,3) векторларының СБ немесе СБ-сыз болатынын анықтаңыз.

Шығаруы. Анықтама бойынша а + а + а = 0 теңдігінен – ларды та – бамыз. Бізге – лардың бәрі ноль ме, әлде нольден өзгелері табыла ма?, соны анықтау керек. Бізге оларды х – тар арқылы белгілеген қолайлы. Сондықтан

х а + х а + х а = 0 теңдеуін шешеміз.

(2 х , -3 х , х ) + (3 х , - х , 5 х ) + (х , -4 х , 3 х ) = (0, 0, 0)

Кортеждерді қосу ережесінен төмендегідей біртекті СТЖ – сін аламыз:

Осы біртекті жүйенің нольдік емес шешулері бар ма, әлде тек нольдік шешу ғана бола ма? Бұл сұраққа жауап беру үшін жүйенің негізгі матрицасының рангсын есептейді. Егер ранг 3-ке тең болса, онда тек нольдік шешу ғана болады; ал ранг 3-тен кіші болса, СТЖ –ң нольдік емес шешулері де болады.

– жүйенің матрицасы. (Берілген векторлармен салыстыр!).

Матрицаның жолдық және бағандық ранглары тең болғандықтан, бұл матрицаның орынына транспонирленген матрицаның рангсын табуға болады.

– транспонирленген матрица. (Берілген векторлармен салыстыр!).

Сонымен, 3 – өлшемді арифметикалық векторлық кеңістікте берілген векторлар жүйесінің СБ не СБ-сыз болатынын анықтау үшін олардың координаталарынан матрица құрып, оның рангсын есептейміз. Егер ранг 3–ке тең болса, онда векторлар жүйесі СБ-сыз болады; ал ранг 3–тен кіші болса, – СБ болады.

 

 

«Сызықтық кеңістіктер» тақырыбына әдебиеттер:

 

1 . Ильин В.А., Позняк Э.Г., Линейная алгебра, М., 1978

2 . Куликов Л.Я., Алгебра и теория чисел, М., 1979

3 . Ляпин Е.С., Евсеев А.Е., Алгебра и теория чисел (часть 2), М., 1978

4 . Мальцев И.А., Линейная алгебра, Санкт-Петербург, 2010

5 . Петрова В.Т., Лекции по алгебре и геометрии (часть 2), М., 1999

6 . Проскуряков И.В., Сборник задач по линейной алгебре, М., 2008

7 . Сызықтық алгебра элементтері (методикалық талдау), Құрастырған

Т.Б.Бұлабаев, А., 1992