Айталық, V және V¢ – F өрісінде берілген векторлық кеңістіктер болсын.
Анықтама. Бір өрісте берілген V векторлық кеңістігін V¢ векторлық кеңістігіне бейнелейтін бейнелеуді оператор деп атайды.
Анықтама. Бір өрісте берілген V векторлық кеңістігін V¢ векторлық кеңістігіне бейнелейтін 
операторы аддитивті және біртекті болса, оны сызықтық оператор дейді.
операторының аддитивтік шарты:
а,b 
V (a + b) = (a) + (b),
операторының біртектілік шарты:
а V 
F ( a) = (a).
Ескертулер:
1). Сызықтық оператордың аддитивтік және біртектілік шарттарын біріктіріп төмендегіше бір шарт етіп жазуға болады:
а,b V , 
F ( a + b) = (a) + (b).
2). Сызықтық оператор гомоморфизм екені түсінікті.
3). Егер V¢ кеңістігі сан жиыны болса (Z, Q, R, C), онда сызықтық операторды сызықтық функционал деп атайды.
4). Егер V және V¢ кеңістіктері беттессе, онда V кеңістігінде берілген сызықтық операторды, кейде, сызықтық түрлендіру деп те атайды.
Осыларды ескеріп, векторлық кеңістікте берілген (анықталған) сызықтық оператордың анықтамасын былайша тұжырымдауға болады:
Анықтама.
def
(: V 
V –сыз. операт.) 
( а,b V , F ( a + b)= (a)+ (b))
Бұл анықтамадан, векторлық кеңістікте берілген сызықтық оператор – сол кеңістіктің эндоморфизмі екені түсінікті.
Сызықтық оператордың анықтамадан шығатын 2 қарапайым қасиеттері бар:
1 
. = = 0 F болса, (0) = 0 
сызықтық оператор нольдік векторды орынында қалдырады (немесе сызықтық оператор нольдік векторды өз – өзіне көшіреді).
2 . Оператордың сызықтық болу шартын бірнеше векторлар үшін жалпылауға болады, яғни
(
а 
+... + 
а 
) = (a ) +... + (а ).
Мысалдар.
1). Кезкелген V векторлық кеңістігінде тепе – тең бейнелеу 
(х) = х (х V) сызықтық оператор болады. Шынында да,
( a + b) = a + b = (a) + (b) – сызықтық оператор.
Оны бірлік оператор дейді.
2). Кезкелген V векторлық кеңістігінің барлық векторын нольдік векторға көшіретін 
(х) = 0 (х V) бейнелеуі де сызықтық оператор болады. Шынында да, ( a + b) = 0 = 0 + 0 = (a) + (b) – сызықтық оператор.
Оны нольдік оператор дейді.
3). С 
– үздіксіз функциялар кеңістігінде бейнелеу ретінде дифференциал- дау заңдылығын d (f) = f ¢ алайық. Онда ол да сызықтық оператор болады. Шынында да, d ( a + b) = ( a + b)¢ = |дифференциалдау ережелері бойынша| = a ¢ + b ¢ = d (a)+ d (b) d – сызықтық оператор.
Оны дифференциалдау операторы дейді.
4). Айталық, V векторлық кеңістігі өзінің екі ішкі кеңістігінің тура қосындысы болсын: V = W 
W 
. Онда х = х + х бірмәнді өрнектелуіндегі
х – х векторының W -ге проекциясы (W -ге параллель) деп,
х – х векторының W -ге проекциясы (W -ге параллель) деп аталады.
х векторына х векторын сәйкестікке қоятын заңдылықты қарастырайық. Оны V кеңістігін W ішкі кеңістігіне (W -ге параллель) проекциялау деп атап, 
деп белгілейді: (х) = х .
(Сәйкесінше, (х) = х алынса, ол V кеңістігін W ішкі кеңістігіне (W -ге параллель) проекциялау болады).
Қосынды тура қосынды болғандықтан, әрбір х векторы үшін х бірмәнді анықталады. Сондықтан заңдылығы, шынында да, бейнелеу болады. Осы бейнелеуі сызықтық оператор болатынын өзіңіз тексеріңіз.
Оны проекциялау операторы дейді.
5). F өрісінде берілген кезкелген V векторлық кеңістігінде, тұрақтандырылған 
F скаляры үшін, (х) = х (х V) бейнелеуі де сызық- тық оператор болады. (Тексеріңіз).
Оны ұқсастық операторы дейді.
