Айналмалы қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдықтары және үдеулері

 

Қозғалмайтын өсті айналатын қатты дене нүктелерінің қозғалысын қарастырайық. Мұнадай дененің барлық нүктелерінің қозғалыс кезіндегі траекториялары, жазықтықтары айналу өсіне перпендикуляр, ал центрлері айналу өсінде жататын, концентрлі шеңберлер болады. Дененің айналу өсінен h қашықтықта жатқан кез келген бір нүктесі М -ді алайық. Бұл нүктенің жылдамдығының шамасы:

, (2.76)

2.16-сурет

формуласымен есептелінеді, ал векторы, радиусы h, центрі О нүктесінде жататын шеңберге жанамамен, айналыс болатын жаққа қарай бағытталады (2.16-сурет).

(2.76)- шы формула нүкте М -нің жылдамдығын геометриялық әдіспен табуға мүмкіндік береді. Ал жылдамдықты векторлық тәсілді қолданып табуға да болады. Ол үшін берілген нүкте М -нің Oxyz өстер жүйесіндегі = радиус-векторын алайық. Осы және векторының векторлық қөбейтіндісін құрайық: х (2.16 сурет).

Бұл көбейтіндінің модулі

. (2.77)

(2.77)–теңдік, векторлық көбейтіндінің модулі, нүкте жылдамдығының (2.76) формуламен есептелінетін модуліне тең екенін көрсетеді. Осыдан соң х векторының бағытына тоқтайық. Бұл вектор, үшбұрыш Δ O₁MO жазықтығына М -нүктесіне тұрғызылған перпендикуляр бойыменен векторымен бірдей бір жаққа қарай бағытталғанын 2.16-суреттен көруге болады. Сонымен бұл айтылғандардан, екі вектор, x және бір-біріне тең екенін көреміз. Демек мынадай формуланың орынды екені дәлелденеді:

(2.78)

(2.78)–формула қатты дене кинематикасындағы маңызды формула. Бұл формула Эйлер формуласы деп аталады.

Дененің кез келген нүктесі М, радиусы h = О₁М және жазықтығы айналу өсіне перпендикуляр орналасқан, шеңбер сыза отырып қозғалады дедік. Демек бұл нүктенің толық үдеуін екі құраушыға жіктеу арқылы анықтай аламыз (2.17-сурет). Шенбер бойымен қозғалған нүктенің жанама үдеуі:

, (2.79)

және оның нормальүдеуі:

. (2.80)

2.17-сурет

Егер дененің айналмалы қозғалысы үдемелі болса, онда жанама үдеу жылдамдықпен бірдей бір жаққа қарай бағытталады, ал ол кемімелі болған жағдайда жанама үдеу жылдамдыққа қарама-қарсы жаққа қарай бағытталады. Ендігі жерде айналмалы қозғалыстағы М нүктесінің толық үдеуі -векторын құраушылары _τ және _n арқылы анықтау мына формулалар арқылы жүргізіледі:

, (2.81)

. (2.82)

Егер векторының модулі | |=const болып, оның бағыты ғана уақыт өсуіне қарай өзгеретін болса, онда (2.78)-формуладан мынадай теңдік алынады:

. (2.83)

Бұл теңдіктегі радиус-вектор -дің бұрылуының бұрыштық жылдамдығы. Енді (2.83) теңдігінің екі жағынан уақыт бойынша туынды алайық:

. (2.84)

(2.84)–теңдіктің оң жағындағы қосылғыш векторларды жеке-жеке қарастырайық. Ондағы бірінші қосылғыш вектор модулі М -нүктесінің жанама үдеуіне тең:

. (2.85)

(2.85)–тің оң жағындағы бірінші вектор, М- нүктесіндегі жылдамдық векторы мен бағыттас. Демек, бұдан:

. (2.86)

Ал енді ондағы екінші қосылғыш вектордың модулі:

. (2.87)

Бұл вектор МО₁ түзуінің бойымен О₁ центріне қарай, айналу өсіне перпендикуляр бағытталады. Демек

. (2.88)

Сонымен (2.80) – (2.82) формулаларын векторлық тәсілді қолданып та алуға болатынын көрсеттік.

1-мысал: Атанаққа оралған жіпке ілінген жүк A, атанақты айналмалы қозғалысқа келтіре отырып, тыныштық қалпынан бірқалыпты үдемелі төменгі бағытта қозғалады. Атанақ бірінші 3 сек арлығында 9 айналым жасайды. Атанақтың диаметрі см.

Атанақ бетіндегі нүктенің 5сек уақыт мезгіліндегі жылдамдығын және үдеуін табу керек (14-сурет).

а) б)

2.18-сурет.

Шешуі. Атанақтың бірқалыпты айнымалы айналмалы қозғалыс теңдеуін жазамыз:

. (1)

Бұрыштық жылдамдықтың айналу өсіндегі проекциясы айналу бұрышы (1)-ден уақыт бойынша алынған туындыға тең:

. (2)

Бастапқы мәндері: j₀=0, w₀=0. Осы шарттарды ескере отырып (1) және (2) - теңдеулерді мына түрде жазамыз:

, (3)

. (4)

t = 3 с уақыт мезгілін де j = 9 айналыс болғандықтан, (3) – теңдеуден бұрыштық үдеу e - ді табамыз:

.

(4)–теңдеуден мезгіліндегі атанақтың бұрыштық жылдамдығы -ны табамыз:

.

Атанақтың бетіндегі B нүктесінің (14,б-сурет) сызықтық жылдамдығын, жанама және нормаль құраушы үдеулерін осы уақыт мезгілінде анықтаймыз:

м/с,

м/с²,

м/с².

Атанақтың бетіндегі нүктенің толық үдеуінің модулі:

м/с².

Жүктің жылдамдығы атанақтың бетіндегі нүктенің сызықтық жылдамдығына тең:

м/с.

Жүктің үдеуі атанақтың бетіндегі нүктенің жанама құраушы үдеуіне тең:

м/с².

2-мысал: Раиусы тістегеріш 1-ге отырғызылған радиусы r валды жүк В айналмалы қозғалысқа келтіреді. Жүк тыныштық қалпынан қозғалып бастайды және тұрақты үдеумен қозғалады. Тістегеріш 1-мен іліністе болатын радиусы r₂ тістегеріш 2-нің қозғалыс заңдылығын табу керек.

Шешуі. Жүк В (15-сурет) бастапқы жылдамдықсыз тұрақты үдеумен қозғалып бастайды, сондықтан, кез келген мезгілінде болады. Валдың бетіндегі нүкте жылдамдығы осы жылдамдыққа және w₁ r -ге тең. Сондықтан:

2.19-сурет

w₁ r = at, .

w₂-ні табамыз. Іліністегі нүкте С -ның сызықтық жылдамдығы екі тістегерішке ортақ:

,

осыдан

.

Осы теңдіктің екі жағында -ға көбейтіп алу арқылы, мынадай теңдік аламыз:

.

Бұны 0-ден j₂ -ге және 0-ден t -ға дейінгі шектерде интегралдай отырып, тістегеріш 2-нің бірқалыпты айнымалы айналмалы қозғалыс заңдылығын табамыз: