Лабораторная работа №4 корни многочленов, кратные множители

Определение 1. Если многочлен f(x) обращается в нуль при подстановке в него числа с вместо неизвестного, то с называется корнем многочлена f(x) (или уравнения f(x)=0).

Пример 1. f (x)=x⁵+2x³-3x.

Число 1 является корнем f(x), а число 2 не является корнем f(x), так как f(1)=1⁵+2∙1³-3∙1=0, а f(2)=2⁵+2∙2³-3∙2=42≠0.

Оказывается, корни многочлена связаны с его делителями.

Число с тогда и только тогда является корнем многочлена f(x), когда f(х) делится на х-с.

Определение 2. Если с - корень многочлена f(х), то f(х) делится на х-с. Тогда найдется натуральное число k, что f(х) делится на (х-с)^k, но не делится на (х-с)^k+1. Такое число k называется кратностью корня с многочлена f(х), а сам корень с - k-кратным корнем этого многочлена. Если k=1, то корень с называют простым.

Для нахождения кратности k корня с многочлена f(х) применяют теорему:

Если число с является k-кратным корнем многочлена f(х), то при k>1 оно будет (k-1)-кратным корнем первой производной этого многочлена; если же k=1, то с не будет служить корнем для f '(х).

Следствие. k-кратный корень многочлена f(х) впервые не будет служить корнем для k-й производной.

Пример 2. Убедиться, что число 2 является корнем многочлена f(х)=х⁴-4х³+16х-16. Определить его кратность.

Решение. Число 2 является корнем f(х), так как 2⁴-4∙2³+16∙2-16=0.

f '(x)=4x³-12x²+16, f '(2)=4∙2³-12∙2²+16=0;

f ''(x)=12x²-24x, f ''(2)=12∙2²-24∙2=0;

f '''(x)=24x-24, f '''(2)=24∙2-24≠0.

Число 2 впервые не является корнем f'''(х), поэтому число 2 является трехкратным корнем многочлена f(х).

Пусть дан многочлен f(х) степени n≥1 со старшим коэффициентом 1: f(х)=хⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n и α₁,...,α_n – его корни. Корни многочлена и его коэффициенты связаны формулами, которые называют формулами Виета:

a₁= -(α₁+...+α_n),

a₂=α₁α₂+...+α_n-1α_n,

a₃= -(α₁α₂α₃+...+α_n-2α_n-1α_n),

...........................

a_n=(-1)ⁿα₁α₂...α_n.

Формулы Виета облегчают написание многочлена по заданным его корням.

Пример 3. Найти многочлен, имеющий простые корни 2; 3 и двукратный корень –1.

Решение. Найдем коэффициенты многочлена:

а₁=– (2+3–1–1)=-3,

а₂=2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,

а₃=– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7,

а₄=3·2·(–1)·(–1)=6.

Искомый многочлен есть х⁴–3х³–3х²–7х+6.

Определение 3. Многочлен f(х)ÌР[x] степени n приводим над полем Р, если он может быть разложен в произведение двух множителей φ(х) и ψ(х) из Р[x], степени которых меньше n:

f(x)=φ(x)ψ(x). (1)

f(x)ÎP[x] называют неприводимым над полем Р, если в любом его разложении на множители из Р[x] один из множителей имеет степень 0, другой – степень n.

Имеют место следующие теоремы:

Всякий многочлен ненулевой степени f(х) из кольца Р[x] разлагается в произведение неприводимых множителей из Р[x] однозначно с точностью до множителей нулевой степени.

Отсюда легко следует, что для всякого многочлена f(х)ÎР[x] степени n, n≥1, существует следующее разложение на неприводимые множители:

, (2)

где - неприводимые многочлены из P[x] со старшими коэффициентами, равными единице. Такое разложение для многочлена однозначно.

Неприводимые множители, входящие в такое разложение, не обязаны быть все различными. Если неприводимый многочлен встречается ровно k раз в разложении (2), то он называется k-кратным множителем многочлена f(х).Если множитель Р(х) входит в это разложение только один раз, то он называется простым множителем для f(х).

Если в разложении (2) одинаковые множители собрать вместе, то это разложение можно записать в следующем виде:

, (3)

где множители Р₁(х),…,Р_r(x) уже все различные. Показатели k₁,…,k_r здесь равны кратностям соответствующих множителей. Разложение (3) можно записать в виде:

, (4)

где F₁(x) – произведение всех простых неприводимых множителей, - произведение всех двукратных неприводимых множителей и т.д. в разложении (3). Если в разложении (3) нет m-кратных множителей, то множитель считается равным единице.

Многочлены F₁(x),…,F_s(x) для многочлена f(x) над числовыми полями можно найти, пользуясь понятием производной, алгоритмом Евклида из формулированной ранее теоремы (о связи с производной) следующим образом:

Отсюда

Поэтому получаем

Таким образом, для многочлена f(x) мы можем найти множители .

Если для многочлена f(x) надо найти множители F₁(x),…,F_s(x) его разложения (4), то говорят, что надо отделить его кратные множители.

 

Пример 4. Отделить кратные множители f(x)=х⁵-х⁴-5х³+х²+8х+4.

Решение. Находим НОД f(x) и f '(x)=5x⁴-4x³-15x²+2x+8.

 

d₁(x)=[ f(x), f '(x)]=x³-3x-2.

Теперь находим d₂(x)=(d₁(x), d₁^'(x)).

d₂(x)=x+1.

Далее находим d₃(x)=(d₂(x), d₂^'(x)), d₂^'(x)=1,

d₃(x)=1.

Выражаем v₁(x), v₂(x), v₃(x).

(производим деление).

v₁(x)=x²-x-2.

(производим деление).

Поэтому получаем F₃(x)=v₃(x)=x+1,

Таким образом, многочлен f(x) имеет разложение f(x)=(х-2)²(х+1)³. В разложении (3) многочлена f(x) простых множителей нет, двукратный множитель х-2 и трехкратный множитель х+1.

 

Замечание 1. Этот способ ничего не дает в том случае, если все неприводимые множители многочлена f(x) простые (получим тождество f(x)=F₁(x)).

 

Замечание 2. Этот способ позволяет определить кратности всех корней произвольного многочлена.

 

ВАРИАНТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

 

1. Убедиться, что многочлен 3х⁴-5х³+3х²+4х-2 имеет корень 1+i. Найти остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители х⁵+5х⁴-5х³-45х²+108.

3. Найти многочлен наименьшей степени, корнями которого являются: 5, i, i+3.

 

Вариант 2

 

1. Чему равен показатель кратности корня х₀=2 для многочлена f(x)=x⁵-7х⁴+12х³+16х²-64х+48? Найти остальные его корни.

2. Отделить кратные множители х⁵-6х⁴+16х³-24х²+20х-8.

3. Определить соотношение между коэффициентами уравнения x³+px+q=0, если его корни х₁, х₂, х₃, удовлетворяют соотношению .

Вариант 3

 

1. Чему равен показатель кратности корня х₀=4 для многочлена х⁴-7х³+9х²+8х+16? Найти остальные корни.

2. Отделить кратные множители х⁶-2х⁵-х⁴-2х³+5х²+4х+4.

3. Определить λ так, чтобы один из корней уравнения равнялся удвоенному другому: x³-7x+λ=0.

 

Вариант 4

1. Показать, что х=3 является корнем многочлена f(x)=х⁴-6х³+10х²-6х+9. Определить его кратность и найти остальные корни.

2. Отделить кратные множители многочлена х⁵+6х⁴+13х³+14х²+12х+8.

3. Сумма двух корней уравнения 2х³-х²-7х+λ=0 равна 1. Найти λ.

Вариант 5

 

1. Показать, что х₀=-2 является корнем многочлена х⁴+х³-18х²-52х-40. Определить его кратность и найти остальные корни.

2. Отделить кратные множители многочлена f(x)=х⁵-5х⁴-5х³+45х²-108.

3. Найти многочлен наименьшей степени по данным корням 1, 2, 3, 1+i.

 

Вариант 6

 

1. Найти условие, при котором многочлен х⁵+ах⁴+b имеет двойной корень, отличный от нуля.

2. Отделить кратные множители многочлена х⁶+15х⁴-8х³+51х²-72х+27.

3. Многочлен а₀хⁿ+a₁x^n-1+…+a_n имеет корни х₁, х₂,…, х_n. Какие корни имеют многочлены: 1) a₀xⁿ -a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+(-1)ⁿa_n;

2) a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀?

 

Вариант 7

 

1. Показать, что х=-2 является корнем многочлена 4х⁵+24х⁴+47х³+26х²-12х-8. Найти кратность корня и найти остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х⁴+х³-3х²-5х-2.

3. Найти сумму квадратов корней уравнения 2х³-2х²-4х-1.

 

Вариант 8

 

1. Доказать, что х=1 является корнем многочлена х⁶-х⁵-4х⁴+6х³+х²-5х+2. Определить его кратность. Найти остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х⁵-3х⁴+4х³-4х²+3х-1.

3. Один из корней многочлена в два раза больше другого. Найти корни многочлена f(х)=х³-7х²+14х+λ.

Вариант 9

 

1. Найти условие, при котором многочлен х⁵+10ах³+5bх+с имеет тройной корень, отличный от нуля.

2. Отделить кратные множители многочлена х⁷-3х⁶+5х⁵-7х⁴+7х³-5х²+3х-1.

3. Решить уравнение х³-6х²+qх+2=0, если известно, что его корни образуют арифметическую прогрессию.

Вариант 10

 

1. Показать, что х=3 является корнем многочлена f(x)=х⁴-12х³+53х²-102х+72. Определить кратность корня, найти другие корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х⁶-4х⁴-16х²+16.

3. Найти многочлен с действительными коэффициентами наименьшей степени по данным корням 1, 2+i, 3.

 

Вариант 11

 

1. Показать, что х=2 является корнем многочлена х⁵-6х⁴+13х³-14х²+12х-8. Найти его кратность и остальные корни.

2. Отделить кратные множители многочлена х⁴+х³-3х²-5х-2.

3. Составить многочлен наименьшей степени, если известны его корни х₁=2, x₂=1-i, x₃=3.

 

Вариант 12

 

1. Показать, что х=-1 является корнем многочлена х⁴+х³-3х²-5х-2. Найти его кратность и остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х⁵-3х⁴+4х³-4х²+3х-1.

3. Составить многочлен наименьшей степени, если известны его корни х₁=i, x₂=2+i, x₃=x₄=2.

 

Вариант 13

 

1. Чему равен показатель кратности корня х₀=4 для многочлена х⁴-7х³+9х²+8х+16? Найти остальные корни многочлена.

2. Отделить кратные множители многочлена х⁶-2х⁵-х⁴-2х³+5х²+4х+4.

3. Определить λ так, чтобы один из корней уравнения х³-7х+λ=0 равнялся удвоенному другому.