Лабораторная работа №3 наибольший общий делитель многочленов

 

Пусть даны ненулевые многочлены f(x) и φ(x). Если остаток от деления f(x) на φ(х) равен нулю, то многочлен φ(х) называется делителем многочлена f(х). Имеет место следующее утверждение: многочлен φ(х) тогда и только тогда будет делителем многочлена f(х), когда существует многочлен ψ(х), удовлетворяющий равенству f(х)=φ(х)ψ(х). Многочлен φ(х) называется общим делителем произвольных многочленов f(x) и g(x), если он является делителем каждого из этих многочленов. Согласно свойствам делимости, к числу общих делителей многочленов f(x) и g(x) принадлежат все многочлены нулевой степени. Если эти многочлены не имеют других общих делителей, то их называют взаимно простыми и записывают (f(x), g(x))=1. В общем же случае многочлены f(x) и g(x) могут обладать общими делителями, зависящими от х.

Как и для целых чисел, для многочленов вводится понятие их наибольшего общего делителя. Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов f(x) и g(x) называется такой их общий делитель d(x), который делится на любой общий делитель этих многочленов. Наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) обозначают символами НОД, d(x), (f(x), g(x)). Заметим, что такое определение НОД имеет место и для целых чисел, хотя чаще используется другое, известное всем студентам.

В связи с этим определением возникает ряд вопросов:

1. Существует ли НОД для произвольных ненулевых многочленов f(x) и g(x)?

2. Как найти НОД многочленов f(x) и g(x)?

3. Сколько наибольших общих делителей имеют многочлены f(x) и g(x)? И как найти их?

Существует способ нахождения НОД целых чисел, называемый алгоритмом последовательного деления или алгоритмом Евклида. Он применим и к многочленам, состоит в следующем.

Алгоритм Евклида. Пусть даны многочлены f(x) и g(x), степень f(х)≥степени g(x). Делим f(x) на g(x), получаем остаток r₁(x). Делим g(x) на r₁(x), получаем остаток r₂(x). Делим r₁(x) на r₂(x). Так продолжаем деление до тех пор, пока не совершится деление нацело. Тот остаток r_k(x), на который нацело делится предыдущий остаток r_k-1(x), и будет наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x).

Сделаем следующее замечание, полезное при решении примеров. Применяя алгоритм Евклида к многочленам для нахождения НОД, мы можем, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножить делимое или сократить делитель на любое не равное нулю число, причем, не только начиная какое-либо из последовательных делений, но и в процессе самого этого деления. Это будет приводить к искажению частного, но интересующие нас остатки будут приобретать лишь некоторый множитель нулевой степени, что, как мы знаем, допускается при разыскивании делителей.

 

Пример 1. Найти НОД многочленов f(x)=x³–x²–5x–3,
g(x)=x²+x–12. Делим f(x) на g(x):

.

Первый остаток r₁(x) после сокращения на 9 будет х–3. Делим g(x) на r₁(x):

.

Деление произошло нацело. Следовательно, r₁(x)=х–3 есть НОД многочленов x³–x²–5x–3 и x²+x–12.

Пример 2. Найти НОД многочленов f(x)=3x³+2x²–4x–1,
g(x)=5x³–3x²+2x–4. Умножаем f(x) на 5 и делим 5f(x) на g(x):

Первый остаток r₁(x) будет 19х²–26х+7. Делим g(x) на первый остаток, предварительно умножив g(x) на 19:

Умножаем на 19 и продолжаем деление:

Сокращаем на 1955 и получаем второй остаток r₂(x)=х-1. Делим r₁(x) на r₂(x):

.

Деление совершилось нацело, следовательно, r₂(x)=х-1 есть НОД многочленов f(x) и g(x).

 

Пример 3. Найти НОД многочленов f(x)=3x³–x²+2x–4,
g(x)=x³–2x²+1.

. .

.

Ответ: (f(x), g(x))=х–1.

 

Этот способ нахождения НОД показывает, что если многочлены f(x) и g(x) имеют оба рациональные или действительные коэффициенты, то и коэффициенты их наибольшего общего делителя также будут рациональными или, соответственно, действительными.

Многочлены f(x), g(x) и d(x) связаны следующим соотношением, которое часто используется в различных вопросах и описывается теоремой.

Если d(x) есть наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x), то можно найти такие многочлены u(x) и v(x), что f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x). Можно считать при этом, если степени многочленов f(x) и g(x) больше нуля, то степень u(x) меньше степени g(x), а степень v(x) меньше степени f(x).

Покажем на примере, как найти многочлены u(x) и v(x) для заданных многочленов f(x) и g(x).

 

Пример 4. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), если

A) f(x)=х⁴-3х³+1, g(x)=х³-3х²+1;

B) f(x)=х⁴-х³+3х²-5х+2, g(x)=х³+х-2.

 

А. Находим НОД многочленов f(x) и g(x), пользуясь алгоритмом Евклида, только теперь в процессе деления нельзя производить сокращение и домножение на подходящие числа, как мы делали в примерах 1, 2, 3.

(1) (2)

(3)

Таким образом, общим делителем многочленов f(x) и g(x) является –1.

Согласно произведенному делению записываем равенства:

f(x)=g(x)х+(–х+1) (1^*)

g(x)=(–х+1)(–х²+2х+2)–1. (2^*)

Из равенства (2^*) выразим d(x)= –1=g(x)–(–x+1)(–x²+2x+2). Из равенства (1^*) находим –х+1=f(x)–g(x)х и подставляем его значение в равенство (2^*): d(x)= –1=g(x)–(f(x)–g(x)х)(–x²+2x+2).

Теперь группируем слагаемые в правой части относительно f(x) и g(x):

d(x)= –1=g(x)–f(x)(–x²+2x+2)+g(x)x(–x²+2x+2)=f(x)(x²–2x–2)+g(x)(1–x³ +2x²+2x)=f(x)(x²–2x–2)+g(x)(–x³+2x²+2x+1).

Следовательно, u(x)=x²–2x–2, v(x)= –x³+2x²+2x+1.

Наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x) является многочлен 2х-2. Выражаем его, используя равенства (1) и (2):

 

Ответ:

 

ВАРИАНТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1. Найти НОД многочленов:

а) х⁴–2х³–х²–4х–6, 2х⁴–5х³+8х²–10х+8.

б) (х–1)³(х+2)²(2х+3), (х–1)⁴(х+2)х.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=х⁶-4х⁵+11х⁴-27х³+37х²-35х+35,

g(x)=х⁵-3х⁴+7х³-20х²+10х-25.

 

Вариант 2

1. Найти НОД многочленов:

а) х⁴-3х³-3х²+11х-6, х⁴–5х³+6х²+х-3.

б) (2х+3)³(х-2)²(х+1) и его производной.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x),g(x)), если

f(x)=3х⁷+6х⁶-3х⁵+4х⁴+14х³-6х²-4х+4, g(x)=3х⁶-3х⁴+7х³-6х+2.

 

Вариант 3

1. Найти НОД многочленов:

а) 2х⁴+х³+4х²-4х-3, 4х⁴-6х³-4х²+2х+1.

б) (х+1)²(2х+4)³(х+5)⁵, (х-2)²(х+2)⁴(х-1).

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=3х³-2х²+2х+2, g(x)=х²-х+1.

 

Вариант 4

1. Найти НОД многочленов:

а) 3х⁴-8³+7х²-5х+2, 3х⁴-2х³-3х²+17х-10.

б) (х+7)²(х-3)³(2х+1) и его производной.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=х⁴-х³-4х²+4х+1, g(x)=х²-х-1.

 

Вариант 5

1. Найти НОД многочленов:

а) 2х⁴-3х³-х²+3х-1, х⁴+х³-х-1.

б) х⁴(х-1)²(х+1)³, х³(х-1)³(х+3).

 

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=3х⁵+5х⁴-16х³-6х²-5х-6, g(x)=3х⁴-4х³-х²-х-2.

 

Вариант 6

1. Найти НОД многочленов:

а) х⁴-2х³+4х²-2х+3, х⁴+5х³+8х²+5х+7.

б) х³(х+1)²(х-1) и его производной.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=х⁵-5х⁴-2х³+12х²-2х+12, g(x)=х³-5х²-3х+17.

 

Вариант 7

1. Найти НОД многочленов:

а) х⁴+3х³-3х²+3х-4, х⁴+5х³+5х²+5х+4.

б) (2х+1)(х-8)(х+1), (х³+1)(х-1)²х³.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=4х⁴-2х³-16х²+5х+9, g(x)=2х³-х²-5х+4.

 

Вариант 8

1. Найти НОД многочленов:

а) х⁴-3х³-2х²+4х+6, 2х⁴-6х³+2х²-7х+3.

б) (х³-1)(х²-1)(х²+1), (х³+1)(х-1)(х²+2).

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=2х⁴+3х³-3х²–5х+2, g(x)=2х³+х²-х-1.

 

Вариант 9

1. Найти НОД многочленов:

а) 2х⁴+х³-5х²+3х+2, 3х⁴+8х³+3х²-3х-2.

б) (х³+1)(х+1)²(2х+3) и его производной.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=3х⁴-5х³+4х²–2х+1, g(x)=3х³-2х²+х-1.

Вариант 10

1. Найти НОД многочленов:

а) х⁴-5х³+7х²-3х+2, 2х⁴-х³-7х²+3х-2.

б) (х+1)(х²-1)(х³+1), (х³-1)(х²+х)х.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если

f(x)=х⁵+5х⁴+9х³+7х²+5х+3, g(x)=х⁴+2х³+2х²+х+1.

 

Вариант 11

1. Найти НОД многочленов:

а) 2х⁴-3х³+10х²-9х+12, 3х⁴+х³+10х²+3х+3.

б) (х³-8)(х³+1)(х+1), (х-2)²(х+3).

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если f(x)=х⁴+1, g(x)=х³+х.

 

Вариант 12

1. Найти НОД многочленов:

а) 2х⁴-х³-2х²-2х-1, 2х⁴-х³-5х²-4х-2.

б) (х+1)³(х²-1)х² и его производной.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если f(x)=х⁴-х²+х-1, g(x)=х³-1.

 

Вариант 13

1. Найти НОД многочленов:

а) х⁴-2х³+2х²-1, 3х⁴-5х³+3х²+х-2.

б) (х³-1)(х-1)³2х³ и его производной.

2. Найти многочлены u(x) и v(x) так, чтобы f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), d(x)=(f(x), g(x)), если f(x)=х⁴-х³-х²-1, g(x)=х³+1.