Свойства полугрупп и групп

Идемпотентом полугруппы G называется ее элемент i со свойством: i _* i = i. Множество всех идемпотентов полугруппы G обозначим E (G). Полугруппа G называется унипотентной, если ï E (G)ï=1.

Пусть G – полугруппа (группа), S – ее непустое подмножество. В силу ассоциативности полугрупповой (групповой) операции слово g ₁… g_t длины t ³1 в алфавите S не требует расстановки скобок, то есть является корректным. Если при этом g ₁=…= g_t = g, то данное выражение записывают как g^t. Отсюда: g^tg^r = g^t ⁺ ^r, (g^t) ^r = g^t ^× ^r. Для группы верны и следующие равенства: g ⁰= е, g ^- ^t =(g ^-1) ^t.

Для любого непустого подмножества S полугруппы G существует наименьшая подполугруппа в G, содержащая S, которая обозначается á S ñ и состоит из всех конечных произведений элементов из S (иначе говоря, из всех конечных слов в алфавите S). Полугруппа á S ñ коммутативна, если любая пара элементов из S коммутирует. Если S ¢ - непустое подмножество обратимых элементов множества S, то á S ñ - моноид и á S ¢ñ - группа обратимых элементов моноида á S ñ. В частности, если все элементы из S обратимы, то á S ñ – группа.

Если S содержит только один элемент g, то полугруппа á g ñ называется циклической или моногенной, а элемент g – порождающим циклическую полугруппу á g ñ. Если элемент g обратим, то á g ñ - циклическая группа. Если á S ñ= G, то множество S называют порождающим G или системой образующих элементов полугруппы (группы) G.

Система образующих определена для полугруппы G в общем случае неоднозначно. Неоднозначной может быть и запись элемента g полугруппы G в виде слова в алфавите S.

Длиной элемента g конечной полугруппы в системе образующих S, обозначаемой l (g, S), называется длина кратчайшего из слов в алфавите S, представляющих элемент g.

Длиной покрытия непустого подмножества X Í G в системе образующих S, обозначаемой l (X, S), называют наибольшую из длин всех элементов множества X в системе образующих S:

l (X, S)= l (g, S).

Графом Кэли Г _S полугруппы (группы) G =á S ñ, построенным по системе образующих S, называют ориентированный граф с множеством вершин G и с множеством дуг, помеченных элементами системы S. Если g, g ¢Î G, s  S, то (g, s, g ¢) есть помеченная дуга Û g × s = g ¢. Граф Г _S группы G является псевдосимметрическим графом порядка p, где p =ï S ï.

Граф Кэли любой группы связен и не имеет параллельных дуг. В графе Кэли полугруппы могут существовать параллельные дуги. Граф Кэли полугруппы в общем случае не связен, он имеет не более ï S ï компонент связности и любая вершина графа достижима хотя бы из одной вершины множества S. Например, граф Кэли полугруппы левых нулейпредставляет собой набор изолированных петель.

Возьмем элемент g полугруппы G и построим ряд элементов g, g ²,…, gⁱ,… Если в ряду не встречаются одинаковые элементы, то полугруппы G и á g ñ имеют бесконечные порядки.

Пусть в ряду g, g ²,…, gⁱ,… встречаются одинаковые элементы (в случае конечной полугруппы G совпадения неизбежны), и t – наименьшее натуральное число такое, что g^d = g^t при некотором натуральном d < t. Обозначим n = t - d и перепишем последнее равенство в виде

g^d = g^d ⁺ ⁿ. (4.1)

Для конечной циклической полугруппы á g ñ равенство (4.1) называют определяющим соотношением, а пару á g; g^d = g^d ⁺ ⁿ ñ, состоящую из порождающего элемента g и определяющего соотношения - ее копредставлением. Из (4.1) следует, что равенство g^d ⁺ ⁱ = g^d ⁺ ⁿ ⁺ ⁱ выполнено при любом i Î N, т.е. полугруппа á g ñ полностью задана копредставлением.

Число d называют циклической глубиной или индексом элемента g (обозначается dep g). Число n называют периодом элемента g (обозначается per g). Элемент g полугруппы с циклической глубиной d и с периодом n имеет тип (d, n) и порождает циклическую полугруппу á g ñ типа (d, n). Если для элемента g типа (d, n) верно соотношение g ^d= g ^d⁺ⁿ, то d³ d и n |n.

Из соотношения (4.1) следует, что множество элементов полугруппы á g ñ есть { g, g ²,…, g^d ⁺ ⁿ ^-1}. Граф Кэли Г _g полугруппы á g ñ состоит из единственного цикла длины n (множество C (g) циклических вершин графа есть { g^d,…, g^d ⁺ ⁿ ^-1}) и при d >1 из единственного подхода длины d -1 из вершины g к циклической вершине g^d (множество D (g) ациклических вершин графа есть { g,…, g^d ^-1}).

Порядком элемента g полугруппы G (обозначается ord g) называется наименьшее натуральное t такое, что g^t = e_g. Если g порождает циклическую полугруппу типа (d, n), то ord g =é d / n ù× n. Отсюда ord g £ordá g ñ, и ord g =ordá g ñ Û n |(d -1) (длину подхода в Г _g).

Экспонентом полугруппы G (обозначается exp G) называется наименьшее натуральное t такое, что g^t = e_g для любого g Î G [61]. Если G ={ g ₁,…, g_m }, то

exp G = НОК (ord g ₁,…,ord g_m).

Отметим свойства циклических подполугрупп á gⁱ ñ полугруппы á g ñ, i ³1 [60].

Утверждение 4.1. а) При любых i, j ³1:

§ D (gⁱ)={ g^k: k < d и k кратно i };

§ C (gⁱ)={ g^k: d £ k < d + n и k º t (mod r)}, где t =ord g и r =(i, n);

§ полугруппа á gⁱ ñ определяется соотношением (gⁱ)^d=(gⁱ)^d ⁺ ⁿ, где d=é d / i ù, n= n /(n, i);

б) ord gⁱ = ;

в) á gⁱ ñ=á g^j ñ Û либо i = j, либо (i, n)=(j, n) при i, j ³ d;

г) á gⁱ ñÇá g^j ñ=á g^НОК ^{(i, j)}ñ. w

Не всякая подполугруппа циклической полугруппы является циклической.

Порядком элемента g группы (обозначается ord g) называется наименьшее натуральное t такое, что g^t = e. Экспонентом группы G, обозначаемой exp G, называется наименьшее натуральное t (если такое существует), при котором g^t=е для всех g Î G.

Для элемента g конечного порядка t выполнены свойства:

1) t делит exp G, и exp G делит | G |, если G конечна;

2) g^п = е Û t | п;

3) элементы gⁱ и g^t ^- ⁱ являются взаимно обратными, i =0,1,…, t;

4) ord gⁱ = t /(t, i), i =1,…, t. w

В силу свойства 1 любая группа простого порядка p является циклической.

Теорема 4.3. Если элементы g и h группы G перестановочны и имеют порядки п и т соответственно, то в G найдётся элемент порядка НОК (п, т).

t Если (п, т)=1,то искомым элементом является g × h.

Действительно, элементы g и h перестановочны, поэтому (gh) ^t = е при t = НОК (п, т). Отсюда ord(gh)=t, где t£ t, при этом tï t в соответствии со свойством 2). Значит, t= uv, где u ï п, v ï т. Заметим, число uт кратно t, поэтому (gh) ^u^т = е. Следовательно, используя перестановочность элементов g и h, имеем:

е =(gh) ^u^т = g^u^т × h^u^т = g^u^т.

Отсюда в соответствии со свойством 2) число uт кратно п, что при (п, т)=1 верно Û u = п. Симметричным образом показывается, что v = т. Следовательно, t= t.

Если (п, т)= d,то ord g^d = п / d, и (п / d, т)=1. Как показано выше ord(g^dh)= пт / d = НОК (п, т). Искомый элемент есть g^dh. u

Следствие. В абелевой группе G имеется элемент g порядка exp G. w

Бесконечная группа может состоять из элементов конечного порядка.

Теорема 4.4. Всякая подгруппа циклической группы - также циклическая.

t Пусть H – собственная подгруппа циклической группы á g ñ. Из g^п Î H следует, что g^-п Î H, поэтому H содержит степени элемента g с натуральными показателями. Обозначим через d наименьшее натуральное число, для которого g^d Î H. Пусть теперь g^п Î H, где п=d × q + r, 0£ r < d. Тогда g^r = g^п ×(g^-^d) ^q Î H, что противоречит минимальности d, если r ¹0. Поэтому r =0и H есть циклическая группа á g^d ñ. u

Теорема 4.5. В конечной циклической группе á g ñ порядка n элемент g^r порождает подгруппу порядка n /(r, n).

t Пусть d =(r, n). Порядок группы á g^r ñ равен наименьшему натуральному t такому, что g^r ^× ^t = е. В соответствии со свойством 2) это равенство выполнено Û n делит r × t, то есть Û n / d делит t. Наименьшее натуральное t с таким свойством равно n / d. u

Пусть G – моноид, S, S ¢Í G и H £ I_G. Элементы а, b Î G (подмножества S и S ¢) называются сопряженными в группе H, при H = I_G просто сопряженными, если d^-1 а d= b (d^-1 S d= S ¢) для некоторого элемента dÎ H. Обозначим отношение сопряженности а» ^Hb (S» ^HS ¢) или а» b (S» S ¢) при H = I_G. Для коммутативного моноида G сопряженность относительно любой группы H есть равенство.

Утверждение 4.3. При любой группе H отношение сопряженности» ^H на моноиде G (на булеане 2 ^G моноида G), есть отношение эквивалентности.

t Если e – единица моноида G, то e Î H и выполнено:

1) а» ^Hа, так как e ^-1 аe = а.

2) Если а» ^Hb, то d^-1 а d= b при некотором dÎ H. Умножая последнее равенство слева на d и справа на d^-1, получаем: (d^-1)^-1 b d^-1= а. По свойству группы d^-1Î H, отсюда b» ^Hа.

3) Если а» ^Hb и b» ^Hс, то d^-1 а d= b и h ^-1 bh = с при некоторых d, h Î H. Подставляя во второе равенство вместо b левую часть первого равенства, получаем:

с = h ^-1d^-1 а d h =(d h)^-1 а (d h).

Так как d h Î H, то это означает, что а» ^Hс.

Для отношения сопряженности подмножеств доказательство аналогично. u

Утверждение 4.4. Если а» ^Hb, где а, b - элементы моноида G, и элемент а имеет тип (d, n), то и элемент b имеет тип (d, n).

t По условию а^d = а^d ⁺ ⁿ, и d^-1 а d= b при некотором g Î H. Отсюда

b^d = g ^-1 а^dg =d^-1 а^d ⁺ ⁿ d= b^d ⁺ ⁿ.

Следовательно, если b имеет тип (d ¢, n ¢), то d ¢£ d и n ¢| n. Рассуждая симметрично от элемента b к элементу а, получаем d £ d ¢ и n | n ¢. Значит, d = d ¢ и n = n ¢. u

Следствие. Если а» ^Hb, где а, b - элементы группы G, то ord а =ord b. w

Таким образом, разбиение моноида (группы) G на классы сопряженных элементов есть продолжение разбиения G на классы однотипных (однопорядковых) элементов.

Обозначим через [ a ]_» класс сопряженных элементов, содержащий элемент а моноида G. Определим ï[ a ]_»ï для а Î G.

Центром моноида (группы) G (обозначается C (G)) называется подмножество всех элементов G, перестановочных с любым элементом группы I_G (группы G). Отсюда:

1) C (G) – подмоноид моноида (подгруппа группы) G;

2) ï[ a ]_»ï=1 Û а Î C (G).

Нормализатором подмножества M моноида (группы) G, обозначаемым N_G (M), называется подмножество всех элементов g группы I_G (группы G), для которых gM = Mg. Отсюда

C (G)= (C (G)= ),

где N_G (а)= N_G ({ а }) для любого а Î I_G (а Î G).

Теорема 4.10. Нормализатор подмножества M моноида G есть подгруппа в I_G. Для любого а Î G:

ï[ a ]_»ï=[ I_G: N_G (а)].