Графический метод для поиска корней

Содержание

 

Введение 3

Задание 1. Приближенное решение конечных уравнений 4

Задание 2. Методы численного интегрирования 11

Задание 3. Метод наименьших квадратов 17

Задание 4. Методы численного решения дифференциальных уравнений с помощьюMS Excel 21

Задание 5. Построение поверхности 25

Задание 6. Решение задач оптимизации с помощью надстройки Поиск решения 29

Задание 7. Функции просмотра и ссылок 34

Список литературы
Введение

 

Учебно-ознакомительная практика студентов предполагает применение знаний, полученных студентами за время обучения, для решения практических задач. Во время прохождения практики студенты должны изучить численные методы решения инженерных задач и приобрести навыки их применения: методы решения трансцендентных уравнение, методы численного интегрирования, методы решения дифференциальных уравнений.

Студенты на различных примерах изучают широкие возможности MS Excel для решения математических, экономических и других задач. Представленные в методическом пособии задания предназначены для углубленного освоения возможностей табличного процессора и интегрированных сред разработки программных средств.

При прохождении практики студент должен представить письменный отчет по каждому заданию. Отчет должен содержать:

формулировку задачи;

описание метода;

программу на одном из языков программирования или (и) таблицу решения;

результаты работы программы.

Описание каждого задания содержит необходимую для его выполнения информацию из сопутствующего курса, пример решения аналогичной задачи. Некоторые задания предполагают наряду с MS Excel использование алгоритмического языка для выполнения. Также приводятся практические примеры применения методов и функций.

 

Задание 1. Приближенное решение конечных уравнений

 

Цель работы: научиться выполнять типовые задачи вычислительной математики, решение алгебраических и трансцендентных уравнений, часто встречающихся в инженерной практике.

 

Рассматривается численное решение уравнений вида

f(x)=0, (1.1)

где f – заданная функция.

Если уравнение (1.1) имеет следующий вид:

A ₀ + A ₁ x + A ₂ x ² +... + A _n x ⁿ = 0,

(где A _i -известные коэффициенты), то оно называется алгебраическим уравнением n -ой степени. Во всех других случаях уравнение (1.1) называется трансцендентным

Наиболее универсальные методы решения уравнений вида (1.1): метод Ньютона, метод дихотомии, метод хорд, метод простой итерации.

Метод Ньютона. Очередное приближение корня уравнения находится по формуле

х_n+1=x_n-f(x_n)/f ¹(x_n).

 

Метод дихотомии (метод деления отрезка пополам). На каждой итерации отрезок [a,b] делится пополам и выбирается та из половин, на концах которой функция f(x) имеет значения разных знаков.

Метод хорд. Очередное приближение находится по формуле

х_n+1=x_n- (x_n – x_n-1)* f (x_n)./ (f(x_n)- f(x_n-1)).

 

Метод простой итерации. Очередное приближение корня находится по формуле

x_n= w(x_n-1);

начальное приближение можно найти графически. Метод сходится, если |w¹(х)| <1 в окрестности корня.

Численное решение уравнения (1) обычно начинают с нахождения грубого решения – начального приближения.

 

Пример.

Дано уравнение

х³-17х+12=0 (1.2)

Перед решением уравнения численным методом его нужно привести к стандартной форме. Будем рассматривать две стандартные формы.

Таблица 1.1 – Стандартные формы уравнений

Форма	Пример	Где используется
1 уравнение с нулевой правой частью	х3-17х+12=0	Графический метод, метод хорд, дихотомии, Пакет Поиск решения
2 уравнение, в левой части которого стоит неизвестная величина	х3+12 х=w(х)=----------	Метод итерации в ячейке

 

Для решения заданного примера рассмотрим следующие способы:

1. Поиск корней уравнения с помощью графика (можно рассматривать как начальное приближение);

2. Метод итерации.

3. Решение уравнения с помощью надстройки Поиск решения.

4. Программа на языке С++ (метод половинного деления – дихотомия).

 

Графический метод для поиска корней

При использовании графического метода для поиска корней удобна первая форма уравнения, в которой все его члены перенесены в одну часть.

Уравнение переписывается в виде

f(x)= х³-17х+12. (1.3)

Вводится в электронную таблицу столбец значений х в интервале -5 <=x <=5, затем для каждого х вычисляется значение f(x). Строится точечная диаграмма - график функции f(x).

 

Рисунок 1.1

 

Из графика видно, что корни находятся возле точек х=0,8, х=3,7 и х=-4,5.

Графический метод нахождения корней прост, но не совсем точен. Для нахождения корней с более высокой точностью применяются численные итерационные методы. Применяя эти методы, следует указывать начальные приближения, замечательным средством получения которых является графический метод.

 

Методы итерации

Суть метода простой итерации (метод прямой подстановки) – использование вычисленного на предыдущем шаге значения в качестве предполагаемого значения для последующей итерации. Для этого следует применить стандартную форму 2 -

(1.4)

Изолированная переменная в левой части уравнения называется вычисляемым значением. Обозначим ее х_в. Переменная х в правой части уравнения называется предполагаемым значением. Обозначается как х_п .

 

(1.5)

В ячейке А4 вводится начальное предполагаемое значение – (0,8). Для вычисления в ячейке В4 вычисляемого значения по формуле (1.5) используется предполагаемое значение в ячейке А4.

Каждое новое предполагаемое значение, содержащееся в столбце А, равно вычисляемому значению предыдущего шага из столбца В. Например, в ячейке А5 – вводится формула (=В4).

Чтобы получить новое вычисляемое значение, скопировать формулу из ячейки В4 в ячейку В5.

Для последующих итераций ячейки копируются по мере необходимости из строки 5 в нижние строки. Разность х_п-х_в в столбце С позволяет оценить скорость сходимости метода.

 

Рисунок 1.2

 

Из рисунка 1.2 видно, что с помощью метода простой итерации (прямой подстановки) удалось найти корень х=0,7286 всего за несколько шагов.

Так как w¹(x)= 3*х² /17 <1 в окрестности х=0,8, то необходимое условия для сходимости метода выполнено.

Преимущество метода простой итерации – легко осуществим в электронной таблице.

Недостатки: иногда метод расходится – с его помощью нельзя получить все корни.

 

1.3 Надстройка Поиск решения

Программа MS Excel предоставляет другой метод – Надстройка Поиск решения. Этот метод устраняет недостатки метода простой итерации.

Примечание: эта надстройка не устанавливается по умолчанию и не активизируется по умолчанию. Чтобы активизировать надстройку Поиск решения, надо выполнить: Сервис – Надстройки - в окне со списком Надстройки установить флажок Поиск решения.

Уравнение записывается в форме 1. В ячейку В3 вводится начальное приближение - (0,8), а в ячейку В4 – формула =В3^3-17*В3+12 (рисунок 1.3).

 

Рисунок 1.3

Далее Сервис – Поиск решения.

В поле Установить целевую ячейку в качестве целевой ячейки выбирается ячейка В4, содержащая формулу.

Надстройка Поиск решения будет продолжать поиск решения, пока значение в целевой ячейке не будет равным нулю (так как в правой части уравнения стоит ноль).

Для этого переключатель устанавливается в положение по значению:, а в соответствующем поле введено значение 0.

В поле Изменяя ячейки: вводится адрес ячейки, в которой находится предполагаемое значение, - В3.

После ввода всех параметров щелкнуть на кнопке Выполнить.

С помощью надстройки Поиск решения найден корень, равный 0,73.

Чтобы найти другие корни, следует изменить предполагаемое значение и повторно запустить надстройку Поиск решения.

Преимущества надстройки Поиск решения: проста в применении и позволяет найти все корни уравнения.

 

1.4 Алгоритм деления отрезка пополам (метод дихотомии)

Требуется определить значение корня с погрешностью, не превосходящей данного положительного числа e. Можно применить метод деления отрезка пополам.

Взяв середину отрезка [a,b], на котором находится корень, то есть точку с координатой с=(а+b)/2, можно сузить диапазон поиска корня: перейти от отрезка [a,b] к отрезку [a,c] или [c,b] в зависимости от знака f (с): если f(a)f(c)<0, то перейти к отрезку [а,с], если f(a)f(c)>0, то перейти к отрезку [c,b]. Если затем найти середину меньшего отрезка и вычислить для нее значение функции f(x), то можно будет вновь сузить диапазон поиска и так далее. После нескольких шагов получится отрезок, длина которого будет меньше данного числа e.

Использование этого метода демонстрируется на программе, написанной на алгоритмическом языке (С++).

Схема программы, реализующий этот алгоритм. Для переменных a и b остаются в силе неравенства a<b и f(a)f(b)[0. Значением fa является f (a), с – обозначает середину отрезка [a,b], fc принимает значение, равное f(c).

Эта программа позволяет получать один из корней. Поэтому предварительно надо определить границы а и b настолько точно (можно использовать графический метод), что в отрезке содержался ровно один корень. Это позволит, задавая различные а и b, получать различные корни.

Для конкретной функции f(x)=x³-17*x+12; один из корней принадлежит отрезку [0,2]; а=0,b=2. тогда программа примет следующий вид.

#include<iostream.h>

#include<conio.h>

#include<math.h>

float f(float x) //функция, вычисляющая значение конкретной функции

{float ff;

ff=x*x*x-17*x+12;

return ff;}

void main() // Главная функция

{float a,b,c,fa,fc,eps; int n=0;

clrscr();

cin>>a>>b>>eps;

fa=f(a);

do

{ c=(b+a)/2;

fc=f(c);

if (fa*fc<0) b=c;

else

{

a=c;fa=fc;

} cout<<c<<endl;n=n+1;

} while (b-a>eps);

cout<<a<<endl;

cout<<n<<endl;

}

 

Преимущества метода: легко осуществим и в электронной таблице, и на языке С++. На языке С++ позволяет найти все корни.

Недостатки метода: по приближенному значению f(x) не всегда можно установить, справедливо ли неравенство f(x)<= 0, когда f(x) мало и погрешность вычисления значения f(x) превосходит само это значение.