Уравнение прямой в пространстве

Прямая может быть задана как пересечение двух плоскостей. В этом случае она задается системой уравнений, определяющих эти плоскости:

(6)

Каноническое уравнение прямой:

. (7)

Здесь М (x ₀, y ₀, z ₀) – точка, через которую проходит прямая, (l, m, n) – направляющий вектор прямой.

Это уравнение на самом деле представляет собой систему двух уравнений, как и в формуле (6). Один или два знаменателя могут быть равны 0, это будет означать, что соответствующие числители приравниваются к 0.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М ₁(x ₁, y ₁, z ₁), М ₂(x ₂, y ₂, z ₂):

. (8)

Пример 1.7.1. В пространстве заданы точки A (3, 2, –1), В (2, –1, 2) С (1, 3, 4), D (4, –5, 5). а) постройте уравнение плоскости (АВС); б) Найдите расстояние от точки D до плоскости (АВС); в) постройте уравнение прямой АС; г) постройте уравнение перпендикуляра к плоскости (АВС), проходящего через точку D.

Решение. а) Воспользуемся формулой (4):

= 0;

= 0;

(x – 3)(–15 – 3) – (y – 2)(–5 + 6) + (z + 1)(–1 – 6) = 0;

–18(x – 3) – (y – 2) – 7(z + 1) = 0;

–18 x + 54 – y + 2 – 7 z – 7 = 0;

–18 x – y – 7 z + 49 = 0;

18 x + y + 7 z – 49 = 0.

б) Воспользуемся формулой (5):

 

.

в) Воспользуемся формулой (8):

;

.

г) Направляющим вектором перпендикуляра является нормаль к плоскости; из пункта а) это = (18, 1, 7). Воспользуемся формулой (7):

.

У п р а ж н е н и я

1.7.1. В пространстве даны точки А (1; 3; 0), B (–1; 2; 1), C (–2; 1; 3), D (2; 2; 1).

а) Постройте уравнение плоскости АВС;

б) Постройте уравнение прямой ВС;

в)Постройте уравнение перпендикуляра, проведенного к плоскости АВС через точку D;

г) Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС;

д) Постройте уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС.

Преобразование координат

Часто для определения вида и параметров фигуры, задаваемой уравнением в некоторой системе координат, бывает удобно перейти к другой системе координат. Это может упростить уравнение.

Простейшее преобразование – это параллельный перенос координатных осей. Пусть новые координатные оси x ₁ и y ₁ имеют в старых координатах уравнения x = a, y = b. Тогда новые координатные оси выражаются через старые формулами x ₁ = x – a, y ₁ = y – b, а старые через новые формулами x = x ₁ + a, y = y ₁ + b. Например, уравнение окружности с центром в точке А (a, b) и радиусом r в старых координатах имеет вид (x – a)² + (y – b)² = r ², а в новых x ₁² + y ₁² = r ².

Другой вид преобразований системы координат – это поворот координатных осей вокруг начала координат на угол a (угол отсчитывается против часовой стрелки). Формулы перехода от старой системы к новой задаются уравнениями

Формулы перехода от новой системы к старой задаются уравнениями

Можно использовать и косоугольную систему координат, в которой оси расположены под произвольным углом и длины единичных отрезков по осям абсцисс и ординат различны. В такой системе прямые линии и многие другие фигуры задаются уравнениями тех же типов, что и в прямоугольной, но параметры уравнений изменяются; становится весьма проблематично определять расстояния и углы. Но использование косоугольной системы координат позволяет упрощать преобразование уравнений в тех случаях, когда требуется определить только тип фигур, задаваемых этими уравнениями. Преобразование координат производится по формулам

где ad – bc ¹ 0.

Совершенно другой вид системы координат, отличный от декартовой, – это полярная система координат. Она задается точкой (полюсом) О и полярной осью – лучом, выходящим из полюса. Положение любой точки М на плоскости задается углом a, который луч ОМ образует с полярным лучом, и радиус-вектором r – длиной отрезка ОМ. Эти два параметра полностью определяют положение точки М. При этом радиус-вектор определяется однозначно, а угол с точностью до периода 2p: этот период соответствует полному обороту вокруг полюса, приводящему к тому же направлению. Например, уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом R в полярной системе имеет вид r = R.

От декартовой к полярной системе координат можно перейти по формулам x = r cos a, y = r sin a. Обратный переход производится с помощью формул

r = ;

Кривые второго порядка

Уравнение второго порядка – это уравнение вида

Ax ² + Bxy + Cy ² + Dx + Ey + F = 0.

Такое уравнение преобразованиями координат приводится к одному из следующих видов:

Уравнение	Фигура
	Эллипс
	Точка
	Пустое множество (мнимый эллипс)
	Гипербола
	Пара пересекающихся прямых
y 2 = 2 px, p >0	Парабола
y 2 = а 2, а ¹ 0	Пара параллельных прямых
y 2 = – а 2, а ¹ 0	Пустое множество (пара мнимых параллельных прямых)
y 2 = 0	Прямая (пара совпавших прямых)

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 а.

Выведем уравнение эллипса. Для этого расположим координатные оси так, чтобы фокусы F ₁ и F ₂ располагались на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Пусть расстояние между ними равно 2 с, значит, они имеют координаты
F ₁(– с, 0) и F ₂(с, 0). Пусть M (x, y) – произвольная точка эллипса. Тогда из определения эллипса получаем уравнение

MF ₁ + MF ₂ = 2 a.

Подставляем MF ₁ = , MF ₂ = , получаем

+ = 2 а.

Это уравнение приводится к виду

(a ² – c ²) x ² + a ² y ² = a ²(a ² – c ²).

При этом a >c, поэтому a ² – c ² > 0, и можно ввести обозначение a ² – c ² = b ². Уравнение тогда приводится к виду b ² x ² + a ² y ² = a ² b ². Разделив его на a ² b ², получим каноническое уравнение эллипса

.

Эллипс симметричен относительно координатных осей и пересекает ось абсцисс в точках А ₁(– с, 0) и А (с, 0), ось ординат в точках B ₁(– b, 0) и B (b, 0). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок А ₁ А называется большой осью эллипса, отрезок В ₁ В – малой осью. Таким образом, а и b – это длины большой и малой полуосей.

Эксцентриситетом эллипса называется число . Для любого эллипса . Эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса: чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее сжат эллипс. При = 0 эллипс является окружностью. При этом фокусы эллипса сливаются в одну точку, совпадающую с центром эллипса.

Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых разность расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 а.

Уравнение гиперболы выводится аналогично уравнению эллипса из равенства

ï MF ₁ – MF ₂ï = 2 a.

Здесь фокусы имеют координаты F ₁(– с, 0) и F ₂(с, 0), c > b и c ² – a ²= b ². После преобразований получаем уравнение

.

Гипербола симметрична относительно обеих координатных осей. Она состоит из двух ветвей. Гипербола пересекает ось абсцисс в двух точках А ₁(– а, 0) и А (а, 0), которые называются вершинами гиперболы.

Прямые называются асимптотами гиперболы. Они могут строиться с помощью четырех прямых, параллельных осям: х = а, у = b. В пересечении этих прямых образуется прямоугольник, который называется основным прямоугольником гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется число . Для любой гиперболы > 1. Эксцентриситет характеризует степень сжатия гиперболы: чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут основной прямоугольник гиперболы.

Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой l, называемой директрисой (предполагается, что фокус не лежит на директрисе).

Для вывода уравнения параболы проведем ось абсцисс через фокус перпендикулярно директрисе, ось ординат поместим между фокусом и директрисой на одинаковом расстоянии от них. Расстояние от фокуса до директрисы обозначим через р, это число называется параметром параболы. Фокус будет иметь координаты F (p /2, 0) уравнение директрисы x = – p /2.

Уравнение параболы выводится из равенства

MF = MА.

После преобразований получаем уравнение

y ² = 2 px.

Парабола имеет ось симметрии, которая называется осью параболы. Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. В отличие от гиперболы парабола не имеет асимптот.

Все параболы подобны друг другу. Значит, если сжать или растянуть параболу в любом направлении, получим подобную параболу.