Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


”равнение пр€мой на плоскости




ѕр€мую на плоскости можно задавать уравнени€ми разных видов. ƒл€ решени€ задач следует использовать уравнение, наиболее удобное дл€ данной задачи.

”равнение с угловым коэффициентом:

y = kx + b. (3)

¬ этом уравнении угловой коэффициент k Ц это тангенс угла наклона пр€мой к оси абсцисс. ”гол отсчитываетс€ от положительного направлени€ оси абсцисс против часовой стрелки.

Ќедостаток этого уравнени€: им невозможно задать вертикальную пр€мую x = a.

ќбщее уравнение пр€мой:

Ax + By + C = 0. (4)

Ётим уравнением можно задать любую пр€мую.  оэффициенты ј, ¬, — при этом определ€ютс€ не однозначно, а с точностью до пропорциональности.

”равнение пр€мой в отрезках:

. (5)

«десь знаменатели а и b Ц это координаты точек пересечени€ пр€мой с соответствующими координатными ос€ми. — помощью такого уравнени€ невозможно задать пр€мую, проход€щую через начало координат или параллельную одной из осей.

”равнение пр€мой, проход€щей через две заданные точки M 1(x 1, y 1) и M 1(x 2, y 2):

. (6)

¬ этом уравнении один из знаменателей может оказатьс€ равным 0. “огда общее уравнение пр€мой получаем, приравнива€ к 0 соответствующий числитель (на другую часть уравнени€ не обращаем внимани€).

”равнение пр€мой, проход€щей через заданную точку M (x 0, y 0) с угловым коэффициентом k:

y Ц y 0 = k (x Ц x 0). (7)

 аноническое уравнение пр€мой:

. (8)

«десь M (x 0, y 0) Ц точка, через которую проходит пр€ма€, а (m, n) Ц направл€ющий вектор, задающий направление пр€мой.

Ћюбой из приведенных видов уравнений легко преобразовать в любой другой.

ƒополнительные формулы.

”гол между двум€ пр€мыми.

ѕусть пр€мые имеют угловые коэффициенты k 1 и k 2. “огда угол j между ними определ€етс€ из услови€

. (9)

”словие перпендикул€рности двух пр€мых с угловыми коэффициентами k 1 и k 2:

k 1 k 2 = Ц1. (10)

”словие параллельности двух пр€мых с угловыми коэффициентами k 1 и k 2:

k 1 = k 2 . (11)

–ассто€ние от точки M (x 0, y 0) до пр€мой Ax + By + C = 0:

. (12)

ѕлощадь треугольника ј¬— с вершинами ј (x 1, y 1), ¬ (x 2, y 2), (x 3, y 3):

. (13)

ѕример 1.4.2. ƒаны три точки ј (3; 1), ¬ (Ц2; 3), (1; Ц2). а) ѕостроить уравнение пр€мой ј¬; б) Ќайти тангенс угла между пр€мыми ј¬ и ј—; в) построить уравнение перпендикул€ра к пр€мой ј¬, проход€щего через точку ;
г) построить уравнение пр€мой, параллельной ј¬ и проход€щей через точку ; д) найти рассто€ние между точками ј и ; е) найти рассто€ние между точкой и пр€мой ј¬; ж) найти площадь треугольника ј¬—.

–ешение. а) ¬оспользуемс€ формулой (6):

;

;

2 x Ц 6 = Ц5 y + 5;

2 x + 5 y Ц 11 = 0 Ц общее уравнение пр€мой.

б) ѕриведем уравнение пр€мой ј¬, полученное в пункте а) к виду (3):

.

ќтсюда ее угловой коэффициент . јналогично находим угловой коэффициент пр€мой ј—, построив ее уравнение:

;

Ц3 x + 9 = Ц2 y + 2;

3 x Ц 2 y Ц 7 = 0;

;

.

“еперь по формуле (9) получаем

.

в) ”гловой коэффициент k 3 перпендикул€ра к ј¬ находим из услови€ (10): k 1 k 3 = Ц1, где из пункта б). ќтсюда . ”равнение перпендикул€ра находим по формуле (7):

y Ц (Ц2) = ;

2 y + 4 = 5 x Ц 5;

5 x Ц 2 y Ц 9 = 0.

г) —огласно формуле (11), угловой коэффициент пр€мой, параллельной ј¬, также равен . ѕоэтому по формуле (7) получаем уравнение

y Ц (Ц2) = ;

5 y + 10 = Ц2 x + 2;

2 x + 5 y + 8 = 0.

д) ¬оспользуемс€ формулой (1):

.

е) ¬оспользуемс€ формулой (12) и уравнением пр€мой ј¬ из пункта а):

.

ж)¬оспользуемс€ формулой (13):

.

” п р а ж н е н и €

1.5.1. ѕостроить уравнение пр€мой, пересекающей координатные оси в точках (2; 0) и (0; Ц3).

1.5.2. ƒаны три точки ј (Ц2; 1), ¬ (1; Ц3), (2; 3). а) ѕостроить уравнение пр€мой ј¬; б) найти тангенс угла между пр€мыми ј¬ и ј—; в) построить уравнение перпендикул€ра к пр€мой ј¬, проход€щего через точку ; г) построить уравнение пр€мой, параллельной ј¬ и проход€щей через точку ; д) найти рассто€ние между точками ј и ¬; е) найти рассто€ние между точкой и пр€мой ј¬; ж) найти площадь треугольника ј¬—.

¬екторна€ геометри€

¬ геометрическом векторном пространстве стандартный базис состоит из векторов, имеющих единичную длину, расположенных по координатным ос€м и направленных в положительную сторону соответствующих координатных осей. ¬екторы, соответствующие ос€м 0 x, 0 y, 0 z, обозначают соответственно , , и называют основными или базовыми ортами.

ѕроекци€ вектора на пр€мую Ц это вектор, начало и конец которого есть проекции начала и конца вектора на эту пр€мую.

¬ разложении вектора = (a1, a2, a3) по базису: = a1 + a2 + a3 слагаемые €вл€ютс€ проекци€ми вектора на соответствующие координатные оси.

¬екторы, параллельные одной пр€мой, называютс€ коллинеарными; параллельные одной плоскости Ц компланарными.

ѕерпендикул€рные векторы называют ортогональными.

≈сли = (a, b, c) и известны координаты точки A (x 1, y 1, z 1), то координаты точки B (x 2, y 2, z 2) находим сложением этих координат: x 2 = x 1 + a, y 2 = y 1 + b, z 2 = z 1 + c. јналогично координаты начала вектора получаютс€ из координат конца вычитанием координат вектора.

ѕример 1.6.1. Ќайти координаты вершины D параллелограмма ABCD, если заданы координаты ј (2, Ц1, 1), ¬ (4, 2, 0), (Ц3, 1, Ц2).

–ешение. »зобразим параллелограмм ABCD на рисунке (не стара€сь согласовывать положение вершин с их координатами), чтобы было нагл€дно видно, какие векторы использовать в вычислени€х. «амечаем, что

= = (Ц3 Ц 4, 1 Ц 2, Ц2 Ц 0) = (Ц7, Ц1, Ц2),

и получаем координаты D (2 Ц 7, Ц1 Ц 1, 1 Ц 2), или D (Ц5, Ц2, Ц1).

—кал€рное произведение

—кал€рное произведение векторов и определ€етс€ формулой:

= cosa, (1)

где a Ц угол между векторами и .

—войства скал€рного произведени€:

1. = .

2. = .

3. = .

4. .

5.  ритерий ортогональности векторов: .

6. ≈сли = (a 1, a 2, a 3), = (b 1, b 2, b 3) то = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. “ака€ же формула с двум€ слагаемыми дл€ плоского случа€.

ѕример 1.6.2. Ќайти косинус угла a между векторами = (2, Ц1, 3), и = (3, 2, Ц2).

–ешение. »з формулы (1) получаем cosa = ;

= = Ц2;

;

;

cosa = .

ѕример 1.6.3. Ќайти площадь треугольника ј¬—, если заданы координаты вершин ј (2, Ц1, 3), ¬ (3, 2, Ц2), (0, 3, 1).

–ешение. ѕлощадь находим по формуле , где a Ц угол между ј¬ и ј—. ¬водим векторы

= (3 Ц 2, 2 Ц (Ц1), Ц2 Ц 3) = (1, 3, Ц5);

= (0 Ц 2, 3 Ц (Ц1), 1 Ц 3) = (Ц2, 4, Ц2).

cosa находим, как в примере 1.6.2:

= Ц2 + 12 + 10 = 20;

; ;

cosa = ;

;

.

«амечание. ѕри вычислении sina сокращение не производилось специально, чтобы упростить вычислени€ на последнем шаге.

¬екторное произведение

”пор€доченна€ тройка векторов , , пространства называетс€ правой, если при совмещении их начал в одной точке из конца вектора поворот от к наблюдаетс€ против часовой стрелки. ¬ противном случае тройка называетс€ левой. Ёта характеристика называетс€ ориентацией тройки векторов.

≈сли векторы в тройке сдвинуть по кругу, то ориентаци€ не изменитс€. ≈сли же помен€ть местами два вектора, то ориентаци€ изменитс€ на противоположную.

¬екторным произведением векторов и называетс€ вектор = ´ такой, что:

(a) , где a Ц угол между векторами;

(b) , ;

(c) векторы , , образуют правую тройку.

—войства векторного произведени€:

1. ´ = Ц ´ (антикоммутативность).

2. = .

3. = .

4.  ритерий коллинеарности векторов: .

5. .

6. √еометрический смысл векторного произведени€: площадь параллелограмма, стороны которого задаютс€ векторами и , равна модулю их векторного произведени€: .

7. ≈сли = (a 1, a 2, a 3), = (b 1, b 2, b 3), причем базисные векторы образуют правую тройку, то .

ѕример 1.6.4. Ќайти векторное произведение векторов = (2, Ц1, 3), и
= (3, 2, Ц2).

–ешение. ѕо свойству (7) получаем

=

= (2 Ц 6) Ц (Ц4 Ц 9) + (4 + 3) = Ц4 + 13 + 7 = (Ц4, 13, 7).

ѕример 1.6.5. Ќайти площадь параллелограмма ABCD, если заданы координаты вершин A (3, 2, 0), C (2, Ц1, 2) D (1, 3, Ц4).

–ешение. »зобразим параллелограмм ABCD на рисунке, чтобы пон€ть, какие векторы задают стороны параллелограмма. “ак как заданы точки A, C, D, то естественно использовать векторы и (хот€ направление векторов не имеет значени€, можно вз€ть противоположные векторы):

= (3 Ц 1, 2 Ц 3, 0 + 4) = (2, Ц1, 4);

= (2 Ц 1, Ц1 Ц 3, 2 + 4) = (1, Ц4, 6);

= (10, Ц8, Ц7);

.

—мешанное произведение

—мешанным произведением векторов , , называетс€ число ( ´ ) .





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2017-01-28; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 461 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

80% успеха - это по€витьс€ в нужном месте в нужное врем€. © ¬уди јллен
==> читать все изречени€...

306 - | 324 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.043 с.