Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


—истемы линейных уравнений




–ассмотрим систему m линейных уравнений с n переменными

–ешением системы называетс€ набор значений переменных (с 1, Е, сn), при подстановке которых в систему все уравнени€ обращаютс€ в верные равенства.

—истема называетс€ несовместной, если она не имеет решений.

–ешить систему Ц значит найти множество всех ее решений.

ƒве системы от одних и тех же переменных называютс€ равносильными, если любое решение каждой из этих систем €вл€етс€ решением другой.

—истема называетс€ однородной, если все ее свободные члены равны 0. ќднородна€ система всегда совместна, так как имеет нулевое решение.

ƒл€ решени€ системы используетс€ метод √аусса, заключающийс€ в последовательном исключении переменных. ƒл€ удобства систему записываем в виде матрицы (то есть пр€моугольной таблицы, заключенной в круглые скобки и заполненной числами), построенной из коэффициентов и свободных членов системы. ѕри этом столбец свободных членов отдел€етс€ от остальных столбцов вертикальной чертой. ћатрица имеет вид

“ака€ матрица называетс€ расширенной матрицей системы, а матрица из одних коэффициентов, без столбца свободных членов Ц основной матрицей.

Ќад системой допускаетс€ производить следующие элементарные преобразовани€, которые привод€т к равносильной системе:

1) умножение какого-либо уравнени€ на скал€р l ¹ 0;

2) прибавление к уравнению другого уравнени€, умноженного на скал€р l;

3) исключение из системы или добавление к ней уравнени€ с нулевыми коэффициентами и свободным членом.

—оответствующие преобразовани€ производ€тс€ над строками матрицы системы. ѕреобразовани€ привод€т к эквивалентным матрицам, переходы обозначаютс€ знаком эквивалентности ~.

ѕервый ненулевой коэффициент в каждой строке называем ведущим.

÷ель преобразований Ц избавитьс€ от переменной x 1 во всех уравнени€х, кроме первого. —читаем, что в первой строке ведущий элемент - a 11. ¬ противном случае поставим на первое место другую строку. »спользуем первую строку как опорную.

„тобы избавитьс€ от первого коэффициента ai 1 в i-ой строке, прибавл€ем к этой строке первую строку, умноженную на (Ц ai 1/ a 11). ѕроделав это со всеми строками, начина€ со второй, во всех этих строках на первом месте получим 0.

¬озможно, что при этом станут нулевыми все элементы не только в первом столбце, но и в нескольких следующих (без первой строки). ≈сли же какие-нибудь ненулевые элементы в получившейс€ матрице останутс€, то повтор€ем указанные преобразовани€ с матрицей, получающейс€ отбрасыванием первой строки и всех столбцов до первого ненулевого.

ѕроделав указанные преобразовани€, сколько возможно, получим матрицу в ступенчатом виде. ќн характеризуетс€ тем, что ведущий элемент в каждой строке, начина€ со второй, расположен правее, чем в предыдущей.

≈сли в последней ненулевой строке ступенчатой матрицы слева от черты сто€т нули, а справа ненулевой элемент, то соответствующа€ система решений не имеет, то есть €вл€етс€ несовместной.

≈сли такой строки в ступенчатой матрице нет, то дл€ удобства обведем ведущие элементы во всех строках в кружки. ѕеременные, которым соответствуют кружки, считаютс€ базисными, остальные Ц свободными. ≈сли свободных переменных нет, то система имеет единственное решение. ƒл€ его нахождени€ по строкам получившейс€ матрицы восстанавливаем уравнени€, начина€ с последней, и последовательно находим значени€ всех переменных.

≈сли в системе есть свободные переменные, то придаем им произвольные значени€, счита€ параметрами. Ѕазисные переменные выражаютс€ через них в том же пор€дке, как в предыдущем случае. —истема в этом случае €вл€етс€ неопределенной, то есть имеет больше одного решени€.

≈сли система однородна€, то в матрице столбец свободных членов не нужен, так как в этом столбце все элементы нулевые, они останутс€ нулевыми при любых преобразовани€х.

ѕример 1.1.1. –ешить систему

–ешение. —троим матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду:


~ ~


 о второй и третьей строкам первой матрицы прибавл€лась перва€ строка, умноженна€ на Ц2 и Ц3 соответственно.   третьей строке второй матрицы прибавл€лась втора€ строка, умноженна€ на Ц2.

Ѕазисными €вл€ютс€ переменные x 1 и x 3, свободными x 2 и x 4. ѕолагаем
x 2 = a, x 4 = b. “огда из уравнени€, соответствующего второй строке ступенчатой матрицы, получаем Ц x 3 Ц 2 b = Ц1, и x 3 = Ц2 b + 1. ѕодставл€€ в первое уравнение, получаем

x1 + 2a + 3(Ц 2b + 1) Ц b = 1, x1 = Ц 2a + 7b Ц 2.

ќтвет: x1 = Ц 2a + 7b Ц 2, x2 = a, x3 = Ц 2b + 1, x4 = b, a, b Îℝ.

” п р а ж н е н и е 1.1. –ешите системы:


а)

б)

в)

г)


ќпределители

ћатрица пор€дка m ´ n Ц это матрица с m строками и n столбцами. ѕри m=n имеем квадратную матрицу пор€дка n.

ќпределитель квадратной матрицы пор€дка n Ц это число, которое ставитс€ в соответствие этой матрице. ќпределитель матрицы заключен в пр€мые скобки.

ќпределители второго и третьего пор€дка вычисл€ютс€ по формулам

= ad Ц bc;

= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 Ц a 13 a 22 a 31 Ц a 12 a 21 a 33 Ц a 11 a 23 a 32. (1)

¬ последней формуле (1) имеем сумму произведений элементов матрицы, вз€тых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы. „асть этих произведений входит в сумму со знаком Ђ+ї, остальные Ц со знаком ЂЦї. „тобы правильно расставить эти знаки, можно применить правило треугольника. ѕроизведение элементов главной диагонали матрицы (выход€щей из левого верхнего угла) беретс€ со знаком Ђ+ї, и с этим же знаком берутс€ произведени€ по двум треугольникам, имеющим с этой диагональю параллельную сторону, как на левом рисунке. ѕроизведени€ по второй, побочной диагонали берутс€ со знаком ЂЦї, как и произведени€ по двум треугольникам, имеющим с ней параллельную сторону (см. правый рисунок).

ѕример 1.2.1. ¬ычислим определитель по формуле (1):

=

= 60 + 3 Ц 24 Ц 24 Ц 6 + 30 = 39.

ѕример, иллюстрирующий применение определител€, это правило  рамера дл€ решени€ систем n линейных уравнений с n переменными. —начала вычисл€ем определитель D основной матрицы системы. ≈сли D ¹ 0, то система имеет единственное решение. ƒл€ нахождени€ каждого xi вычисл€ем определитель D i матрицы, полученной из основной матрицы заменой i -го столбца на столбец свободных членов. “огда xi находим по формуле xi = дл€ всех i. Ётот метод особенно эффективен дл€ решени€ систем из двух уравнений с двум€ переменными; дл€ решени€ систем с большим числом уравнений и переменных удобнее метод √аусса.

ѕример 1.2.2. –ешить систему

–ешение. ѕроизводим вычислени€:

;

; ;

; .


ќпределитель 3-го пор€дка можно посчитать и по другой формуле, называемой разложением по первой строке:

= (2)

—труктура формулы (2) будет €сна из следующих определений.

ћинором элемента aij матрицы ј (то есть элемента, сто€щего и i -ой строке и j -ом столбце) называетс€ определитель Mij (A) матрицы, полученной из ј вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца.

јлгебраическим дополнением элемента aij матрицы ј называетс€ число
Aij =(Ц1) i+j Mij (A).

“аким образом, формула (2) означает, что определитель получаетс€ умножением элементов первой строки на их алгебраические дополнени€ и суммированием полученных произведений. ѕри применении формулы (2) не стоит выписывать определители второго пор€дка в правой части, их можно сразу раскрыть, мысленно выделив их в исходной матрице.

ѕример 1.2.3. ¬ычислим определитель из примера 1.2.1 по формуле (2):

=

= = 39.

ƒл€ вычислени€ определителей более высокого пор€дка их пор€док следует понизить. ƒл€ этого пользуютс€ свойствами определителей:

1) если к строке (столбцу) матрицы прибавить другую строку (столбец), умноженную на произвольный скал€р, то ее определитель не изменитс€;

2) если строку (столбец) матрицы умножить на число l, то на l умножитс€ ее определитель;

3) если помен€ть местами две строки (столбца) матрицы, то ее определитель помен€ет знак;

4) определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом) равен 0;

5) определитель матрицы ј, у которой все элементы какой-либо строки (столбца), кроме, может быть, aij, равны 0, равен (Ц1) i+jaijMij, где Mij Ц определитель матрицы, полученной из ј вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца.

ƒл€ понижени€ пор€дка определител€ выбираем в нем какой-нибудь элемент, обычно равный 1. ќстальные элементы столбца, в котором он стоит, надо заменить нул€ми. ƒл€ этого используем строку, в которой стоит выбранный элемент, как опорную. ѕреобразуем элементы столбца в нули с помощью правила 1), как в методе √аусса. ѕри этом, возможно, преобразовывать придетс€ строки не только ниже, но и выше выбранной строки. ѕосле этого понижаем пор€док определител€ по правилу 5). ћожно, впрочем, помен€ть строки и столбцы рол€ми, дела€ нули не в столбце, а в строке с помощью опорного столбца.

ѕример 1.2.4. ¬ычислить определитель

.

–ешение. ћы имеем элемент 1 на пересечении второй строки и второго столбца. »спользу€ вторую строку, сделаем остальные элементы во втором столбце равными 0. ƒл€ этого к первой, третьей и четвертой строкам прибавл€ем вторую, умноженную на Ц2, Ц5, Ц3 соответственно. ѕолучаем:

= =(Ц1)2+2 = =

= 42 + 12 + 0 Ц 18 Ц 16 Ц 0 = 20.

ѕеред вычислением определител€ третьего пор€дка его упростили, прибавив ко второй строке третью, умноженную на Ц2.

” п р а ж н е н и €

1.2.1. –ешить системы по правилу  рамера:

а) б) в) г)

1.2.2. ¬ычислить определители:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

јлгебра матриц

Ќа множестве матриц определены операции сложени€, умножени€ на число, умножени€ матриц.

—кладывать можно пр€моугольные матрицы одного и того же пор€дка. —ложение выполн€етс€ поэлементно.

”множать на число можно любую матрицу. ”множение выполн€етс€ поэлементно (то есть каждый элемент матрицы умножаетс€ на скал€р).

ѕример 1.3.1.

; .

”множать можно матрицу пор€дка m ´ k на матрицу пор€дка k ´ n, то есть длина строки первой матрицы должна быть равна длине столбца второй матрицы. ¬ произведении получитс€ матрица пор€дка m ´ n. ≈е элемент, наход€щийс€ в i -ой строке и j -ом столбце, получаетс€ умножением элементов i -ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j -ого столбца второй матрицы и сложением получившихс€ произведений.

ѕример 1.3.2.

= = .

ћатрицей, транспонированной к матрице ј, называетс€ матрица ј , строки которой совпадают с соответствующими столбцами матрицы ј.

ƒл€ квадратных матриц любого пор€дка n существует единична€ матрица , обладающа€ свойством ј≈ = ≈ј = ј дл€ любой матрицы ј. ≈динична€ матрица имеет вид

= .

ќбратной к квадратной матрице ј называетс€ матрица ј -1 така€, что

ј×ј Ц1 = ј Ц1× ј = ≈.

ћатрицу, обратную к матрице ј, существует при ï A ï¹ 0. ≈е можно вычислить по формуле

A Ц1 = ï A ïЦ1 A *,

где A * Ц матрица, союзна€ с ј. ќна получаетс€ из ј заменой каждого элемента его алгебраическим дополнением и последующим транспонированием.

ѕример 1.3.3. Ќайти матрицу, обратную к

ј = .

–ешение. »меем

ï A ï = 6 + 18 + 60 Ц 9 Ц 16 Ц 45 = 14;

A * = ;

A Ц1 = .

¬ернемс€ к системе m линейных уравнений с n переменными

(1)

¬ыделим св€занные с ней матрицы: основна€ матрица ј, столбец свободных членов ¬ и столбец переменных :

, , .

«аметим, что

ј’ = = .

«аключаем, что это произведение матриц представл€ет собой матрицу из одного столбца, в котором записана лева€ часть системы. ѕрава€ часть Ц это столбец свободных членов, то есть матрица ¬. «начит, система может быть записана в матричном виде

ј’ = ¬. (2)

Ёто очень компактна€ запись, но кроме этого она позвол€ет решать систему матричными средствами. Ёто возможно, если основна€ матрица системы ј €вл€етс€ квадратной и обратимой. “огда, умножив уравнение (2) слева на матрицу ј -1, получим ’ = ј -1 ¬. Ёто и есть ответ, то есть столбец значений переменных.

ѕример 1.1.1. –ешить систему

–ешение. Ќайдем обратную к основной матрице системы ј = :

ï A ï= 3(Ц15 Ц 1) Ц 2(Ц10 Ц 6) Ц 3(2 Ц 18) = Ц48 + 32 + 48 = 32;

A * = ; A Ц1 = .

ќтсюда получаем решение системы

’ = ј -1 ¬ = = = = .


” п р а ж н е н и €

1.3.1. ¬ы€снить, дл€ каких матриц определены произведени€, и найти эти произведени€:

ј = ; ¬ = ; = ; D = .

1.3.2. Ќайти обратную к следующей матрице:

а) ; б) .

1.3.3. –ешите системы трем€ способами: методом √аусса, по правилу  рамера и матричным способом:

а) б) в)

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2017-01-28; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 343 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќачинайте делать все, что вы можете сделать Ц и даже то, о чем можете хот€ бы мечтать. ¬ смелости гений, сила и маги€. © »оганн ¬ольфганг √ете
==> читать все изречени€...

308 - | 301 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.048 с.