Дәріс Гильберт аксиомаларының системасы

Жоспары:

1. Гильберт аксиомаларының жүйесі
2. І топтағы аксиомалар
3. ІІ топтағы аксиомалар
4. ІІІ топтағы аксиомалар
5. ІV топтағы аксиомалар
6. V топтағы аксиомалар

Дәріс тезисі

1899ж. неміс математигі Д. Гильберттің «Геометрия негіздемелері» атты атақты кітабы басылып шықты. Бұл кітапта тұңғыш рет евклидтік геометрияны логикалық жолмен құруға жеткілікті болатын аксиомалардың тізімі келтірілді. Осы күнгі математикадағы аксиоматикалық әдіс пен математикалық структуралардың қазіргі тұрғыдан қарастырылатын теориясы (яғни Н.Бурбаки тобы қалыптастырған түсініктер) Гильбердтің «Геометрия негіздемелерінен» басталады деуге болады.

1. Гильбердтің баяндауы бойынша евклидтік кеңістік структурасының базасы үш жиыннан – E,F,G жиындарынан – тұрады. Бірінші Е жиынының элементтері нүктелер деп аталады да, А,В,С,..., әріптерімен белгіленеді, F жиынынң элементтері түзулер деп аталады да, a,b,c,... әріптерімен белгіленеді, G жиынының элементтері жазықтықтар деп аталады да ... (немесе П, ,...) әріптерімен белгіленеді.

Базаның жиындары үстінде «тиісті» (немесе жатады), «арасында жатады» және «конгруэнт» сөздерімен белгіленетін қатынастар болады. Бұл қатынастардың нақты сипаты қандай екендігі елеулі роль атқармайды, тек сол қатынастар төменде тізімі келтірілетін аксиомаларды қанағаттандыратын болса, болғаны (бұл аксиомалар осы қатынастардың айқын тұжырымдалған қасиеттерін көрсетеді).

Гильберт аксиомаларының тізімінде 20 аксиома бар, олар бес топқа бөлінген.

І топтағы аксиомалар – іліктестік аксиомалары.

«Жатады», яғни іліктестік белгісін біз ∊ таңбасы арқылы белгілейміз. Бірінші топқа мынадай сегіз аксиома бар:

І₁. ∀А, В∊Е, А≠В, ∃а∊F ∣ А∊а, В∊а.

Мұндай а түзуі біреу ғана болады (ол (АВ) деп те белгіленеді)

І₂. ∀а∊F (∃А, В∊Е, А≠В) ∣ А∊а, В∊а.

І₃. Бір түзуде жатпайтын ең кем дегенде үш нүкте болады. Егер А, В, С нүктелері бір түзуде жатпаса, былай жазып көрсетеді: А∉(ВС) немесе В∉(АС) немесе С∉(АВ).

І₄. ∀А, В, С∊Е, А∉(ВС), ∃П∊G ∣ А, В, С∊П.

Мұндай жазықтық біреу ғана болады (ол (АВС) деп те белгіленеді).

І₅. ∀П∊G, ∃А∊Е ∣ А∊П.

І₆. (А, В∊а, А≠В; А, В∊П, С∊а)⇒С∊П.

Бұл жағдайда «а түзуі П жазықтығында жатады» дейді немесе «П жазықтығы а түзуінен өтеді» дейді.

І₇. (А∊П, А∊∑, П≠∑)⇒∃В≠А ∣ В∊П, В∊∑.

І₈. ∃А, В, С, D∊Е ∣ А∉ (ВСD).

Бұл аксиомалар бойынша мынадай теореманы дәлелдеуге болады: кез келген жазықтықта бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте болады.

ІІ топтағы аксиомалар – рет аксиомалары.

Егер В нүктесі А және С нүктелерінің арасында жататын болса, біз оны былай жазып көрсетеміз: (АВС).

ІІ₁. 𝜇(АВС)⇒𝜇(СВА), А, В, С – түзудің әр түрлі үш нүктелері.

ІІ₂. ∀А, В∋Е, А≠В, ∃С∊(АВ) ∣ 𝜇(АВС).

ІІ₃. Түзудің ір түрлі үш нүктесінің екеуінің арасында жататынының саны бірден аспайды.

Бұдан кейін, 𝜇 қатынасын пайдаланып, кесінді мен оның ішкі нүктелерінің әдеттегі анықтамаларын және сәуленің анықтамасын беруге болады.

ІІ₄. (Паш аксиомасы). А, В, С нүктелері бір түзуде жатпайтын нүктелер, ал а түзуі (АВС) жазықтығының айтылып отырған үш нүктесінің ешқайсысынан өтпейтін түзу болсын. Егер а түзуі [АВ]кесіндісінің ішкі нүктесінен өтетін болса,онда ол түзу [АС] кесіндісінің ішкі нүктесінен де немесе [ВС] кесіндісінің ішкі нүктесінен де өтеді. Айтылып отырған а түзуі [АВ], [АС], [ВС] кесінділерінің үшеуін бірдей қиып өте алмайтындығын дәлелдеуге болады.

І және ІІ топтардағы аксиомалардан шығатын кейбір теоремаларды көрсете кетейік.

1. ∀А, В∊Е, А≠В, ∃М∊(АВ)∣ 𝜇(АМВ).

2. Әрдайым түзудің әр түрлі үш нүктесінің біреуі ғана қалған екеуінің арасында жатады.

3. Кез келген кесіндідегі нүктелердің жиыны шексіз болады.

4. П жазықтығында жататын а түзуі сол п жазықтығының а түзуінде жатпайтын нүктелерінің жиынын екі бөлікке бөледі.

Бұдан кейін жарты жазықтық пен оның шекарасының әдеттегі анықтамаларын, бұрыш пен оның қабырғаларының анықтамаларын және көпбұрыштың анықтамасын тұжырымдауға болады.

5. Егер түзу дөңес бұрыштың төбесінен өтіп, оның ішкі облысындағы нүктелер жиынымен құр (бос) жиыннан өзгеше қиылысу жасайтын болса, онда ол түзу ұштары бұрыштың қабырғаларында жататын кесіндіні қиып өтеді.

Ескерте кететін бір жәйіт мынадай: біз І және ІІ топтардағы аксиомаларды пайдаланып, түзудің нүктелерінің жиыны шексіз екендігін тағайындаймыз. Бірақ бұл аксиомалар арқылы түзудегі нүктелердің жиыны саналымсыз жиын екендігін дәлелдеуге болмайды.

ІІІ топтағы аксиомалар – конгруэнттік аксиомалар.

Конгруэнттікті ≅ таңбасымен белгілейміз.

ІІІ₁. Егер [АВ] кесіндісі мен [ОХ) сәулесі берілсе, онда ∃В´∊[ОХ)∊[АВ]≅[ОВ´]. Мұндай нүктенің біреу ғана екендігін дәлелдеуге болады.

ІІІ₂. [А´В]≅[АВ], [А´´В´´]≅[АВ] ⇒[А´В´]≅[А´´В´´].

ІІІ₃. (𝜇(АВС), 𝜇(А´В´С´), [АВ]≅[А´В´], [ВС]≅[В´С´])⇒[АС]≅[А´С´].

ІІІ₄. Дөңес ∠АОВ бұрышы [О´А´) сәулесі және (О´А´) түзуімен шектелген П´ жарты жазықтығы

берілсін. Онда П´ жарты жазық П´

тығында [О´В´)∣∠АОВ≅∠А´О´В´ B О´ В´

қатынасын қанағаттандыратын

бір ғана [О´В´) сәулесі болады. А´

(3- сурет). Сонымен қатар, O A

әрбір бұрыштың өзі-өзіне кон- 3 – сурет.

груэнт болуы, яғни әрдайым ∠АОВ≅∠АОВ болуы, талап етіледі.

ІІІ₅. Егер екі үшбұрыш – АВС және А´В´С´ үшбұрыштары үшін [АВ]≅[А´В´], [АС]≅[А´С´], ∠ВАС≅∠В´А´С´, болса, онда ∠АВС≅∠А´В´С´ болады.

IV топтағы аксиомалар – үздіксіздік аксиомалары.

IV₁. (Архимед аксиомасы). [АВ] мен [СD] берілген кесінділер болсын. (4-сурет). Онда (АВ) түзуінің бойында А₁,A₂,..., A_n нүктелерінің төмендегі шарттарды қанағаттандыратын шекті жиыны болады:

а) 𝜇(АА₁A₂), 𝜇(A₁A₂A₃),..., 𝜇(A_n-2A_n-1A_n),

б) [АА₁]≅[A₁A₂]≅...≅[A_n-1A_n]≅[CD],

в) 𝜇(АВА_n)

IV₂. (Кантор аксиомасы). Бір а түзуінің бойында [А₁B₁], [A₂,B₂],... кесінділерінің мынадай екі шарты қанағаттандыратын шексіз тізбегі берілсін:

а) әрбір келесі кесінді өзінің алдында айтылатын кесіндінің бөлігі болып табылады;

б) кез келген алдын ала берілген [СD] кесіндісі үшін n∣[A_nB_n] [CD] теңсіздігі орындалатындай n натурал сан табылады.

Онда а түзуінің бойында берілген тізбектің кесінділерінің әрқайсысына жататын М нүктесі болады. (5-сурет)

Мұндай М нүктесінің біреу ғана болатындығы түсінікті. Шынында да, N≠M нүктесі де берілген тізбектегі кесінділердің әрқайсысына жатады деп ұйғарсақ, n саны қандай болса да, [A_nB_n] [MN] болар еді, ал ондай қорытынды аксиомаға қайшы келер еді.

І-ІІІ топтардағы аксиомалар сол қалпында сақталғанда IV₁-IV₂ аксиомалары мынадай Дедекинд сөйлеміне эквивалент болатындығын дәлелдеуге болады. [АВ] кесіндісіндегі нүктелердің K₁, K₂ кластарына бөлшектеуі, атап айтқанда K₁∪K₂=[AB], K₁∩K₂=∅ бөлшектеуі, берілсін және ол мынадай екі шартты қанағаттандырсын:

1) A∊K₁, B∊K₂ және K₁K₂ кластарында А, В нүктелерінен өзгеше нүктелер де бар.

2) егер Х∊K₁, X≠A және Y∊K₂ болса, 𝜇(AXY) қатынасы дұрыс болады.

Онда

∃М₀∊[AB] ∣ (𝜇(AXM₀)⇒X∊K₁ және 𝜇(M₀YB)⇒Y∊K₂)

[AB] кесіндісінің 1-2 – шарттарды қанағаттандыратын К₁, K₂ кластарға бөлшектенуін дедекиндтік қима деп атайды. M₀ нүктесін осы қиманы шығаратын нүкте дейді. Мұндай нүктенің біреу ғана болатындығын дәлелдеуге болады.

V топтағы аксиомалар – паралельдік аксиомасы.

а түзуі мен А∉а нүктесі берілсін. Онда (А,а) жазықтығында жатып, а нүктесінен өтіп, а түзуімен қиылыспайтын түзулердің саны бірден аспайды. Ондай (А нүктесінен өтіп, а түзуіне параллель болатын) түзудің болатындығы жоғарыда дәлелденген.

1- ескертпе. Гильберттің аксиоматикасын біз оқу құралдарында айтылып жүргеніндей етіп баяндадық. Гильберттің «Геометрия негіздемелерінде» IV топтың аксиомасы ретінде параллельдік аксиомасы, ал V топтың аксиомалары ретінде үздіксіздік аксиомалары алынған, мұнда Гильберт Кантор аксиомасының орнына басқа аксиома алып, оны сызықтық толымдылықтың аксиомасы деп атаған. Бұл аксиоманың тұжырымдауы тым шұбалаңқы, сондықтан біз оны келтірмейміз.

2- ескертпе. Үздіксіздік аксиомаларын пайдаланып, нақты сандардың R жиыны үстінде түзу нүктелері жиынының ретін сақтайтын биекция болатындығын дәлелдеуге болады. Сонымен, түзудің бойындағы нүктелер, R жиынындағы сандардай, үздіксіз, біріне бірі иін тіресе орналасады.

2. Үш өлшемді нақты евклидтік кеңістікке арналған Вейль аксиомаларының системасын ∑_W деп, ал Гильберттің I-V аксиомаларының системасын ∑_H деп белгілейік.

Егер Г(∑´) теориясында ∑´´ системасының барлық барлық сөйлемдері дұрыс болса, ал Г(∑´´) теориясында ∑´ барлық сөйлемдері дұрыс болса, онда ∑´ пен ∑´´ системалары өзара эквивалент системалар деп аталады. Бұл жағдайда біз бір ғана теорияға келеміз: Г(∑´)=Г(∑´´) және принциптік жағынан алғанда аксиомалардың ∑´ пен ∑´´ системаларының қайсысын негізгісі деп есептесе де бәрібір. Алайда бұл тек принциптік жағынан ғана солай. Ал практикада аксиомалар системасының (аксиомалардың өзара эквивалент системалары жиынынан) сәтті түрде таңдалып алынуы теорияның жасалуын айтарлықтай оңайлатуы мүмкін.

Аксиомалардың ∑_W және ∑_H системаларының біріне бірі эквивалент екендігін дәлелдеуге болады.

Ескертпе. Е₃ евклидтік кеңістіктің структурасын анықтағанда Гильберт те Евклидте болған E, F, G жиындарының базасын алады және Гильберт негізгі қатынастарды атап көрсетеді, осы қатынастардың қасиеттерін сипаттайтын аксиомалардың тізімін береді. Сонымен, Гильберттің аксиоматикасы Е₃ кеңістігінің геометриясын «Евклидтің өз рухында» жасауға бейімделген.

НЕГІЗГІ ӘДЕБИЕТТЕР.

1. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: Учеб. пособие.— М.; Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.— 672 с:

2. Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.— М.: Просвещение, 1986.— 336 с

3. Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2.— М.: Просвещение, 1987.—352 с:

ҚОСЫМША ӘДЕБИЕТТЕР

1. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 584 с.

2. Егоров И.П. Основания геометрии. М., Просвещение 1984г7

3. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия: учебник для вузов. - Лань, 2003. - 415 c.

4. Прасолов В. В., Тихомиров В.М. Геометрия.—М.: МЦНМО, 2007.—2-е изд., перераб. и доп.—328 с: