1.V – R өрісі үстіндегі n өлшемді векторлық кеңістік болсын. 
квадраттық форма индексі k>0 азғындамаған квадраттық форма болатындай
бисызықтық форманы берелік. 
сандары 
векторларының скаляр көбейтіндісі дейміз және 
деп белгілейміз, ал 
санды 
векторының ұзындығы дейміз.
Скаляр көбейтіндісі жоғарыда көрсетілген g бисызықтық форманың көмегімен анықталған, V векторлық кеңістік индексі k псевдоевклидтік векторлық кеңістік деп аталады.
базисте 
квадраттық форманың нормальдық түрі мынадай босын:
(1)
векторға сәйкес 
болса, онда ол изотропты деп аталады.
Әрбір 
векторлардың әрқайсысының ұзындығы бірге тең; бұл бірлік вектор. Әрбір 
n-k+1,… 
n векторлардың і жалған ұзындығы бар; бұл векторларды жалған бірлік деп атаймыз.
Егер 
екі вектордың скаляр көбейтіндісі =0 болса, ол векторларды бұрынғысынша ортогональ деп атаймыз. Егер В базисте
i, i
болса, онда (1) 
.
Атап айтқанда, мынаны табамыз:
i j=0 (i≠j, i, j =1,2,…,n).
Сөйтіп, В базисті қос-қостан ортогональ бірлік және жалған бірлік векторлардан тұрады. Мұнда базисті ортонормаль базис дейміз.
2. Егер Аn аффиндік кеңістіктің V көшірулер кеңістігі индексі k псевдоевклидтік векторлық кеңістік болса, онда аффиндік кеңістік k индексі kEn пседоевклидтік кеңістік деп аталады.
1Е4(n=4, k=1) псевдоевклидтік кеңістік Минковский кеңістігі деп аталады.
А, 
kEn нүктелерінің арақашықтығы деп 
векторының ұзындығын айтады:
Нүктелердің мына жиыны 
төбесі А нүктесінде жататын екінші ретті конус табылады; ол изотропты конус деп аталады.
kEn кеңістіктің қозғалысы деп нүктелердің арасындағы қашықтықты сақтайтын түрлендіруді айтады. kEn кеңістіктегі барлық қозғалыстар жиыны группа болып табылады.
Мына фигура 
kEn кеңістіктегі центрі О және радиусы а сфера деп аталады. Жалған радиусты сфера Q0 изотропты конусқа қатысты Ω ішкі облыста жататыны анық. Егер а=ri болса, онда бұл сфера мына теңдеумен анықталады:
2=-r2
3. Центрі О радиусы а=ri болып келген Q сфераны 1 индексі 1En псевдоевклидтік кеңістікте қарастыралық. n жалған бірлікті векторы 
ортонормаль реперде бұл сфераның теңдеуінің түрі мынадай болады:
НЕГІЗГІ ӘДЕБИЕТТЕР.
1. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: Учеб. пособие.— М.; Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.— 672 с:
2. Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.— М.: Просвещение, 1986.— 336 с
3. Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2.— М.: Просвещение, 1987.—352 с:
ҚОСЫМША ӘДЕБИЕТТЕР
1. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 584 с.
2. Егоров И.П. Основания геометрии. М., Просвещение 1984г7
3. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия: учебник для вузов. - Лань, 2003. - 415 c.
4. Прасолов В. В., Тихомиров В.М. Геометрия.—М.: МЦНМО, 2007.—2-е изд., перераб. и доп.—328 с:
