Лекция 4. Математические предложения. Высказывания и высказывательные формы.

Взаимосвязи между объектами и свойствами выражаются с помощью предложений. Предложения могут быть сформулированы при помощи слов и записаны при помощи математических символов:

«У квадрата все стороны равны»;

«5 < 7».

Каждое математическое предложение характеризуется содержанием и логической структурой. По структу ре различают элементарные и составные предложения.

Элементарные: 1) «20 – четное число»; 2) «х > 8».

Составные: 1)" 20 четное и делится на 5 "; 2) «х 8»,

Составные предложения образуются из элементарных с помощью слов "и", "или", частицы "не". Эти слова называются логическими

связками.

Пример: " 20 четное и делится на 5 "

Логическая структура: "А и В", где А - "20 четное число", В -"20 делится на 5"

Среди предложений выделяют высказывания и высказывательные формы.

Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно.

Высказывания обычно обозначают большими латинскими буквами. Если высказывание А истинно, то записывают: А – «и» или присваивают А значение 1, если высказывание А ложно, то пишут А – «л» или А имеет значение 0. «Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказываний. Например, предложение «Саратов расположен на берегу реки Волги» является высказыванием, причем истинным высказыванием. Предложение «Число 25 делится на 3» – ложное высказывание. Выражение «25 + 6» высказыванием не является, так как о нем нельзя сказать истинно оно или ложно. Не являются высказываниями предложения, содержащие переменную величину, например: «Число х больше числа 8».

Слова «неверно, что», «и», «или», «если …, то», «тогда и только тогда, когда» называются логическими связками. Высказывания делятся на простые (элементарные) и составные. Составные высказывания содержат логические связки и могут быть разбиты на простые высказывания. Например, высказывание «6 > 3» является простым, а высказывание «5 < 8 < 12» является составным, так как его можно разбить на два простых высказывания: «5 < 8» и «8 < 12».

Определение. Высказывательной формой или предикатом называется предложение с одной или несколькими переменными, обращающееся в высказывание, если вместо переменных подставить их значения.

По числу переменных, входящих в предикат, различают одноместные, двухместные и т. д. предикаты и обозначают: А(х), А(х, у) и т. д. Например, х + 5 = 9 – одноместный предикат, а предложение «Число х делится на число у» – двухместный.

П р и м е р 1. Выясните, какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие предикатами: а) 452 < 237; б) 5 х – 6 = 4; в) Сколько стоит эта книга?; г) Число кратно 7?

Р е ш е н и е.

а) Предложение 452 < 237 является высказыванием, так как можно утверждать, что оно ложно.

б) Предложение 5 х – 6 = 4 является предикатом, так как это предложение содержит переменную х и при подстановке конкретного значения х превращается в высказывание. Если х = 3, то 5·3 – 6 = 4 – ложное высказывание, если х = 2, то 5·2 – 6 = 4 – истинное высказывание.

в) Предложение «Сколько стоит эта книга?» не является высказыванием, так как о вопросительных предложениях бессмысленно ставить вопрос об их истинности или ложности. Данное предложение не является и предикатом.

г) Несмотря на то, что в предложении «Число кратно 7» переменная не содержится в явном виде, ее наличие подразумевается, поэтому данное предложение является предикатом. Оно превращается в высказывание при подстановке в него конкретного числа.
^

Задания для самостоятельной работы по теме 4:

1. Укажите среди следующих предложений высказывания:

а) Луна – спутник Земли;

б) все учащиеся любят математику;

в) принеси мне, пожалуйста, книгу;

г) некоторые люди имеют голубые глаза;

д) окружностью называется множество всех точек плоскости, расстояние которых от данной точки плоскости имеет заданную величину;

е) вы были в театре?

2. Верно ли высказывание?

а) Два часа больше семи тысяч секунд;

б) в двух квадратных метрах содержится 200 сантиметров;

в) пять гирь по 3 кг тяжелее 3 гирь по 5 кг;

г) число 0 меньше любого натурального числа;

д) семью девять – сорок девять;

е) число 8 удовлетворяет равенству х· х – х = 56.

3. Какие из следующих высказываний верны, а какие неверны:

а) у всех львов есть хвосты;

б) некоторые люди дошли на лыжах до Северного полюса;

в) ни в одном месяце нет 50 дней;

г) все деревья растут в лесу;

д) Ни одно дерево не растет в лесу;

е) Некоторые деревья растут в лесу;

ж) некоторые ученики нашего класса были на Луне.