Відшукання коренів функціональних рівнянь методом ітерацій

(ПОСЛІДОВНИХ НАБЛИЖЕНЬ)

Цей метод ми застосуємо для відшукання кореня функціонального рівняння x = F (x).

Уведемо для цього рівняння поняття ітераційної послідовності.

Послідовність чисел x₀, x1,..., xn, позначена коротко символом {xn}, будемо називати ітераційною, якщо для будь-якого номера n $ 1 елемент xn

 

виражається через елемент xn - 1 по рекуррентній формулі xn = F (xn - 1), а в якості x₀ узяте будь-яке число з області завдання функції F (x).

Ми установимо, що за певних умов ітераційна послідовність {xn} сходиться до кореня рівняння (4) і тому її елементи можуть бути узяті за наближені значення цього кореня.

Теорема 5. Якщо функція F (x) безперервна в кожній крапці відрізка [a;b], всі елементи ітераційної послідовності {xn} лежать на цьому відрізку й ітераційній послідовності сходиться до деякої межі "c", то "c" є коренем рівняння (4).

Доведенню теореми 5 подамо наступне допоміжне твердження.

Лема. Якщо послідовність {xn} сходиться до межі "c" і всі елементи цієї послідовності лежать на відрізку [a;b], то і межа "c" лежить на цьому відрізку. Нехай {xn} сходиться до межі c і всі елементи xn задовольняють нерівності xn = b (відповідно xn Є a). Потрібно довести, що і межа c задовольняє нерівності c = b (відповідно c Є a).

Зупинимося на випадку xn = b, тому що випадок xn Є a розглядається аналогічно. Покладемо yn = xn - b і помітимо, що послідовність {yn} складається з непозитивних чисел і сходиться до границі d = c - b. Досить довести, що ця межа d непозитивна. Припущення про те, що ця межа позитивна, приводить до протиріччя з тим, що всі yn непозитивно, тому що в силу збіжності {yn} до d всі елементи yn, починаючи з деякого номера, будуть як завгодно мало відрізнятися від d і тому будуть позитивні.

Лема доведена.

Переходячи до доведення теореми 5, ми тепер у силу леми можемо затверджувати, що межа c ітераційної послідовності {xn} лежить на вдрізку [a;b]. Звідси випливає, що функція f (x), за умовою безперервна в кожній точці цього відрізка, є безперервною в точці c. Тому що послідовність {xn} сходиться до c. Переходячи тепер до межі при n у рівності xn = F (xn - 1), ми одержимо в межі з цієї рівності, що c = F (c), тобто c є коренем рівняння (4).

Теорема 5 доведена.

Теорема 6. Нехай число "c" є коренем рівняння (4) і нехай у кожній точці деякого симетричного відносно "c" відрізка [c - e, c + e], де e > 0, функція F (x) має похідну F '(x) і ця похідна усюди на цьому сегменті задовольняє умові

| F '(x) | = a < 1.

Тоді ітераційна послідовність {xn}, у якої значення x₀ узята будь-яка кточка відрізка [c - e, c + e], сходиться до кореня "c". Більш того, для n-го елемента ітераційної послідовності xn справедлива нерівність

| xn - c | = ean.

Зауваження 1. Операція, що задається функцією F (x), що задовольняє нерівності (5), називається стиском.

Зауваження 2. Нерівність (6) показує, що ітераційна послідовність {xn} сходиться до кореня c зі швидкістю геометричної прогресії.

Доведення теореми 6. У силу теореми 5 для доказу першого твердження теореми 6 про збіжність ітераційної послідовності {xn} до кореня c рівняння (4) досить довести, що всі елементи xn лежать на відрізку [c - e, c + e]. Доведемо це методом математичної індукції. Тому що за умовою теореми 6 x₀ належить відрізкові [c - e, c + e], то досить, припустивши, що xn при n $ 0 належить цьому відрізкові, довести, що і xn + 1 йому належить. З огляду на те, що xn + 1 = F (xn), c = F (c), ми одержимо, що

xn + 1 - c = F (xn) - F (c).

Тому що функція, що має похідну в даній точці, є безперервною в цій точці, то для функції F (x) на відрізку, обмеженому точками c і xn, виконані всі умови теореми 4 (Лагранжа) і по цій теоремі між c і xn найдеться така точка xn, що справедливо формулу Лагранжа

F (xn) - F (c) = (xn - c)F '(xn).

З рівностей (7) і (8) і умови (5), справедливого для похідної у всіх точках відрізка [c - e, c + e], випливає, що

| xn + 1 - c | < a | xn - c |.

З нерівностей (9) і з того, що a < 1, випливає, що

| xn + 1 - c | < | xn - c |.

Нерівність (10) означає, що крапка xn + 1 лежить на меншій відстані від c, чим крапка xn, і тому що xn лежить на відрізку [c - e, c + e], то і xn + 1 лежить на цьому сегменті.

Отже, всі елементи ітераційної послідовності {xn} лежать на відрізку [c - e, c + e], і перша частина теореми 6 доведена.

Залишається для будь-якого номера n довести нерівність (6). Записуючи нерівність (9) для номерів n, рівних 0, 1, 2,..., n - 1, одержимо, що

| xn - c | < an | x0 - c | < ean.

Теорема 6 цілком доведена.

Зробимо практичні зауваження щодо застосування тільки що доведеної теореми. Припустимо, що шляхом попередньої прикидки ми установили, що цікавлячий нас корінь c рівняння (4) лежить усередині деякого відрізка [a, b], на якому функція F(x) має похідну, що задовольняє умові (5). Тому що відрізок [a, b], узагалі говорячи, не є симетричним щодо кореня, що обчислюється, c, то природно виникає питання, як вибрати нульове наближення x₀, щоб до ітераційної послідовності {xn} була застосовна теорема 6. Помітимо, що, де б усередині сегмента [a;b] не розташовувався корінь c, хоча б один із двох симетричних щодо точки c відррізків [a, 2c - a] і [2c - b, b] цілком належить сегментові [a, b]. Тому хоча б одна з двох точок a і b належить симетричному відносно c сегментові, усюди на якому справедлива нерівність (5), тобто хоча б одну з точок a або b можна відповідно до теореми 6 вибрати як нульове наближення x₀. Конкретно за x₀ потрібно прийняти ту з точок a чи b, для якої наближення x₁ = F (x₀) не виходить за межі відрізка [a,b].

На практиці найчастіше зустрічається випадок, коли похідна F'(x) має на відрізку [a, b] визначений знак. Якщо цей знак позитивний, то з формул (7) і (8) випливає, що ітераційна послідовність {xn} є монотонною (тобто або не спадає, або не зростає). Цей випадок приводить до так називаної східчастої діаграми. Якщо ж похідна F'(x) негативна на відрізку [a, b], то з тих же формул (7) і (8) випливає, що два будь-яких послідовних елементи xn і xn + 1 лежать по різні сторони від c. Цей випадок приводить до так називаного спиралеобразной діаграмі.

Приклад 1.