Розділ 1 Аналітичний метод

Відділ освіти виконкому Тернівської районної у місті ради

Криворізька загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №117

секція: математика

Функціональні рівняння

Та методи їх розв’язання

Науково-дослідницька робота

учениці 11 класу

Криворізької загальноосвітньої

школи І-ІІІ ступенів №42

Воронова Юлія Валентинівна

Науковий керівник

Попова Віолета Олександрівна

вчитель математики

«спеціаліст вищої категорії»,

Кривий Ріг - 2016

Зміст

Вступ. 3

Розділ 1 Аналітичний метод. 5

Розділ 2 Метод підстановок. 8

Розділ 3 Ітераційний метод. 11

Розділ 4 Метод диференціювання. 18

Розділ 5 Метод зверненян до рівняння в скінченних різницях. 20

Висновки. 22

Список використаних джерел. 23

Вступ

Нині немає жодної

галузі людського знання,

куди не входили б поняття

про функцію, їх графічне

зображення та взаємозв’язок.

К. Ф. Лебединцев

Питання про розв’язування функціональних рівнянь – одне з найстаріших у математиці. Приклади таких рівнянь зустрічаються у працях Л. Ейлера, Н. Абеля, К. Гауса, О. Коші, М. Лобачевского, Г. Монжа та інших видатних математиків.

Необхідність вивчення на практиці залежностей між змінними різної природи привели до поняття функції в математиці, а залежність між функціями різних аргументів до функціонального рівняння. Під функціональним рівнянням розуміють рівняння, в яких шукані функції зв’язані з відомими функціями (однієї чи кількох змінних), а допомогою операції утворення складеної функції. Одними з найпростіших функціональних рівнянь є рівняння Коші:

1. (х+ у)= ;

2. ;

3. ;

4. .

Розв’язати дане рівняння означає встановити, чи має воно розв’язки, і знайти їх, якщо вони існують. Процес відшукання розв’язків визначається самим рівнянням, а також умовами, що виражають ті чи інші властивості, які повинна мати шукана функція (неперервність, монотонність, обмеженість, диференційованність тощо). Так, наприклад, неперервними розв’язками наведених вище рівнянь Коші відповідно є функції , ,

, .

Властивість періодичності означується за допомогою рівняння Так, наприклад, розв’язком першого рівняння Коші можна вважати функцію у=rx, де r – число, х – змінна. Саме рівняння це, так звана розподільна властивість. Розв’язком другого рівняння Коші буде функція у=а^х, де а – число, х – змінна, х>0 (рівняння виражає властивість: добуток степенів з однаковими основами). Розв’язком третього рівняння Коші - де х – змінна, n – число(піднесення до степеня різних основ).

4.- х>0, a>0, a 1.

Крім того, в шкільному курсі математики зустрічається функціональне рівняння, розв’язками яких є тригонометричні функції. В цих рівняннях функції пов’язані між собою, так званою, властивістю періодичності .

Розділ 1 Аналітичний метод

Цей метод полягає в тому, що розв'язок функціонального рівняння відшукується поступово для натуральних, цілих, раціональних і дійсних значень аргументу. Він вимагає, як правило, використання умови неперервності функції.

Приклад 1.1. Знайти всі неперервні функції такі, що для будь-яких х, у виконується рівність

(х+у)= (х)+ (у). (1.1)

Розв'язання. Поклавши в (1.1) х=у=0, одержимо . Звідси випливає, що . Підставивши у=-х в (1.1), матимемо

Таким чином, (х) — непарна функція.

Нехай у=х, у=2х, у=3х,..., у=пх, де п — натуральне число. Підставивши ці значення в (1.1), знаходимо (за індукцією). Отже, для будь-якого натурального п

(1.2)

Звідси випливає, що

(1.3)

Надавши в рівності (1.2) змінній значення , дістанемо для довільних т, п . Врахувавши (1.3), матимемо

Нехай х — довільне невід'ємне дійсне число. Тоді існує послідовність додатних раціональних чисел, яка збігається до х при Оскільки функція неперервна в точці х, то .

Таким чином,

(1.5)

для всіх невід'ємних дійсних х.

Якщо х<0, то (-х)>0. Використавши, що — непарна функція, дістаємо.

Отже, розв'язком рівняння (1.1) є функція виду (1.5), визначена для всіх дійсних х.

Приклад 1.2. Розв'язати в класі неперервних функцій рівняння (1.6)

Розв'язання. З (1.6) випливає, що

при будь-якому .

А це означає, що набуває лише невід'ємних значень.

Припустимо, існує х₀ таке, що . Тоді для довільного х маємо

Отже, або (х)=0, або (х)>0 для всіх значень змінної х.

Нехай (х)>0. Тоді функція визначена для всіх х і неперервна. Скориставшись (1.6), одержимо або

Використавши результат прикладу 1.1, робимо висновок, що Звідки , де >0.

Приклад 1.3. Знайти функції , визначені на множині додатних чисел, які задовольняють умовам:

(1.7)

(1.8)

Розв 'язання. Основною складністю цього прикладу, в порівнянні з попередніми, є відсутність інформації про неперервність функції , що не дає можливості використати граничний перехід при знаходженні значень функції в ірраціональних точках.

Підставимо у рівнянні (1.8) у=1.Тоді Отже, або (х)=0, або (1)=1. Функція (х)=0 є розв'язком системи рівнянь (1.7), (1.8).

Нехай (1)=1. Поклавши в (1.8) х=у = , одержимо Тобто для всіх додатних х виконується умова

(1.9)

З рівняння (1.7) маємо, що для всіх додатних раціональних х , де (див. приклад 1.1). Оскільки , то для всіх додатних раціональних х виконується умова

Покажемо, що і для всіх дійсних х>0. Припустимо, що існує х₀>О таке, що . Нехай < . Виберемо раціональне так, щоб <r<x₀^. Тоді з (1.7) одержимо, що

Оскільки з умови (1.9) випливає, що то А це суперечить вибору r. Провівши аналогічні міркування, одержимо також суперечність для випадку >x_0. Отже, функції і — шукані розв'язки.