Тема: Множества и их спецификация.

Практическая работа №1.

Задание №1.

Даны множества:

А = {–1; 0; 1},

В = [–2; 0) – полуинтервал на числовой оси,

С = [–0.5; 2] - отрезок на числовой оси.

Найти:

А È В, А È В È С, А Ç В, В Ç С, А Ç В Ç С, A \ B, B \ A, A \ C, C \ A, (А \ В) \ С, А \ (В \ С), А Å B, A Å B Å C.

Изобразить на плоскости: А ´ В, А ´ С, В ´ С. Найти , считая универсальным множеством множество всех вещественных чисел.

Решение:

Объединением двух множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, являющихся элементами хотя бы одного из множеств A или B, поэтому:

А È В = {[–2; 0]; 1}

А È В È С = [–2; 2]

Пересечением двух множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A, и B, поэтому:

А Ç В = {–1}

В Ç С = [–0.5; 0)

А Ç В Ç С = Æ – пустое множество

Относительным дополнением множества B до множества A называется множество тех элементов A, которые не являются элементами B, поэтому

А \ В = {0; 1}

В \ А = {[–2; –1); (–1; 0)}

А \ С = {–1}

С \ А = {[–0.5; 0); (0; 1); (1; 2]}

(A \ B) \ C = Æ

A \ (B \ C) = {0; 1}

Симметрической разностью двух множеств A и B называется объединение двух разностей A \ B и B \ A, а а бсолютным дополнением множества A называется множество всех элементов, не принадлежащих A, поэтому:

Декартовым (прямым) произведением двух множеств A и B называется множество всех упорядоченных пар (a,b)таких, что и , поэтому:

 

Задание№2

Для заданного семейства множеств где Г – заданное индексное множество, найдите объединение и пересечение всех множеств семейства, т.е. и (по всем возможным индексам ).

{ A_k } _{k Îℝ}, где для всякого вещественного индекса k множество

А_k ={ (x, y): | x |+| y | ≤ |γ| и x, y Îℝ }.

Решение: рассмотрим множества А_k для некоторых фиксированных индексов k.

При k =0 множество А ₀={ (x, y): | x |+| y | ≤ 0}={(0;0)} – центр вещественной плоскости.

При k =0.5 и k = –0.5 А _0.5= А _‑0.5={ (x, y): | x |+| y | ≤ 0.5} – ромб в центре вещественной плоскости с диагоналями, равными 1 и направленными вдоль осей координат.

При k =2 и k = –2 А ₂= А _‑2={ (x, y): | x |+| y | ≤ 2} – ромб с диагоналями, равными 4 и т. д..

При увеличении абсолютной величины индекса k диагонали ромба, расположенного в центре вещественной плоскости, увеличиваются и при | k |→+ ромб А занимает всю вещественную плоскость. Таким образом, объединение по всем вещественным индексам k равно = ℝ ´ ℝ = ℝ² – вся вещественная плоскость, а пересечение по всем вещественным индексам k равно – центр вещественной плоскости.

Задание№3

Докажите тождество, используя только определения операций над множествами:

Решение: (1) Пусть , тогда . Отсюда следует, что 1) и или 2) и . В первом случае из того, что следует, что х принадлежит также объединению множества А с любым другим множеством, в том числе и множеством В, т.е. . Но в то же время и, следовательно, х принадлежит также объединению с любым другим множеством, в том числе и множеством , т.е. . Таким образом, , т.е. . Аналогично во втором случае: из того, что следует, что х принадлежит также и . И в то же время, поскольку , то х принадлежит также объединению , с любым другим множеством, в том числе и множеством , т.е. . И также как в первом случае имеем: , тем самым .

(2) Пусть теперь . Тогда , отсюда . Следовательно, если , то , т.е. . Если же , то и значит . Таким образом, , что равносильно тому, что . Из (1) и (2) следует справедливость тождества.

Задание№4

Докажите тождество, используя диаграммы Эйлера-Венна.

Решение: Изобразим диаграмму для левой части тождества по шагам:

 

Теперь диаграмму правой части по шагам:

Ввиду того, что заштрихованные области, полученные на последнем шаге для левой и правой части тождества, одинаковы, можно заключить, что исходное выражение верно.

Задания для самостоятельного решения:

Задание №1

Для заданных множеств А, В и С найдите:

А È В, А È С, В È С, А È В È С, А Ç В, А Ç С, В Ç С, А Ç В Ç С, A \ B, B \ A, A \ C, C \ A, B \ C, C \ B, (А \ В) \ С, А \ (В \ С), А Å B, А Å С, B Å C, A Å B Å C. Изобразите на плоскости А ´ В, А ´ С, В ´ С. Найдите считая универсальным множеством множество ℝ – всех вещественных чисел (всю числовую ось).

Задание №2

Для заданного семейства множеств где Г – заданное индексное множество, найдите объединение и пересечение всех множеств семейства, т.е. и (по всем возможным индексам ).

Задание №3

Докажите тождества, используя только определения операций над множествами.

Задание №4

Докажите тождество, используя диаграммы Эйлера – Венна.

Варианты заданий:

Вариант№1

1. А = (0; 2] – полуинтервал на числовой оси

В = [1; 5] – отрезок числовой оси

С = (–1; 2) – интервал на числовой оси

2. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " k Îℕ

3.

4.. (А \ В) (В \ С) (В \ А) (С \ В) = А С

Вариант№2

1. А = {0, 1, 2, 3}– четырехэлементное множество

В = [–3; 3] – отрезок числовой оси

С = (-2; 2) – интервал на числовой оси

2. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " k Îℕ

3.

4. (А \ В) (В \ С) (С \ А) = (В \ А) (С \ В) (А \ С)

Вариант №3

1. А = (–1; +∞)– интервал на числовой оси

В = (–∞; 10] – полуинтервал на числовой оси

С = [–5; +15] – отрезок числовой оси

2. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " k Îℕ

3.

4. (А В) (С D) = В С, если А В = D и C D = A

Вариант №4

1. А = (–∞; 2]– полуинтервал на числовой оси

В = [–3; 3] – отрезок числовой оси

С = (0; 4) – интервал на числовой оси

2. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " k Îℕ

3.

4.

Вариант №5

1. А = (–2; 3) – интервал на числовой оси

В = [0; 4] – отрезок числовой оси

С = {2; 3} – двухэлементное множество

2. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " k Îℕ

3.

Если

4.

Вариант №6

1. А = [–5; 4]– отрезок числовой оси

В = (-∞; ∞)– интервал на числовой оси

С = (–1; 0] – полуинтервал на числовой оси

2. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " k Îℕ

3.

4.

Вариант №7

1. А = (2; 5]– полуинтервал на числовой оси

В = (0; 1)– интервал на числовой оси

С = {–2; -1; 0} – трехэлементное множество

2. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " k Îℕ

3.

где U – универсальное множество

4.

Вариант №8

1. А = (–1; 1)– интервал на числовой оси

В = [1; 2] – отрезок числовой оси

С = (–∞; 1] - полуинтервал на числовой оси

2. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " k Îℕ

3.

4.

Вариант №9

1. А = (5; 15] – полуинтервал на числовой оси

В = [5; 10] – отрезок числовой оси

С = {4; 5; 6} – трехэлементное множество

2. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " k Îℕ

3. если Æ

если

4.

Вариант №10

1. А = (0; 3) – интервал на числовой оси

В = [–1; 3] – отрезок числовой оси

С = (–1; 0] - полуинтервал на числовой оси

2. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " k Îℕ

3.

4.

Вариант №11

1. А = [–5; 2) – полуинтервал на числовой оси

В = [–5; 5] – отрезок числовой оси

С = (–1; 1) - интервал на числовой оси

2. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " k Îℕ

3.

Если

4.

Вариант №12

1. А = (0; 5) – интервал на числовой оси

В = {-2, 0; 1; 2} – четырехэлементное множество

С = [–1; 1] - отрезок числовой оси

2. , где ℕ – множество всех натуральных чисел и " k Îℕ

3.

4.

Вариант №13

1. А = (–∞; ∞) – интервал на числовой оси

В = [0; +∞) – полуинтервал на числовой оси

С = (–∞; 5) - интервал на числовой оси

2. , где ℕ– множество всех натуральных чисел и " k Îℕ

3.

4.

Вариант №14

1. А =[– ; 3) – полуинтервал на числовой оси

В =[3; 10] – отрезок числовой оси

С =(3; + ) – интервал на числовой оси

2. { А_k } _{k Îℝ}, где ℝ – множество всех вещественных чисел и k ℝ

3. (A Ç B) \ C =(A \ C)Ç (B \ C)

(A ´ B) È (C ´ D) Í (A È C) ´ (B È D)

4. (A Å (A \ B)) Ç = Æ

 

Вариант № 15

1. А =[–11; 1] –отрезок числовой оси

В =[–1; 3) – полуинтервал на числовой оси

С =(-2; 2) – интервал на числовой оси

2. { А_k } _{k ℝ}, где ℝ – множество всех вещественных чисел и k Îℝ

3. A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C); (A \ B) ´ C = (A ´ C) \ (B ´ C)

4. ((A È C) Å (B È D))

Вариант №16

1. А = (–0; 1) –интервал на числовой оси

В = {–1; 0; 1} – трехэлементное множество

С = [5; 10] – отрезок числовой оси

2. { А_k } _{k ℝ}, где ℝ – множество всех вещественных чисел и k Î ℝ

3.

4.

Вариант №17

1. А =(-1; 0] – полуинтервал на числовой оси

В =(0; 1) – интервал на числовой оси

С ={-5;- 1; 1} – трехэлементное множество

2. { А_k } _{k ℝ}, где ℝ – множество всех вещественных чисел и k Îℝ

3.

4.

Вариант №18

1. А = {–1; 0; 1} – трехэлементное множество

В =(–1; 0.5) – интервал на числовой оси

С =[0; 1] – отрезок числовой оси

2. { А_k } _{k Îℝ}, где ℝ – множество всех вещественных чисел и k Îℝ

A_k = { x Îℝ: x ² ≥ k ² + 1 }

3.

4.

Вариант №19

1. А = [–6; +6) – полуинтервал на числовой оси

В =[–10; 2] –отрезок на числовой оси

С ={-1} – одноэлементное множнство

2. { А_k } _{k Îℝ}, где ℝ – множество всех вещественных чисел и k Îℝ

A_k = { x ℝ: x ² +1< k ² }

3.

4.

Вариант № 20

1. А = (–1; 4) – интервал на числовой оси

В =[0; 1] – отрезок числовой оси

С =(-2; 0] – полуинтервал на числовой оси

2. { А_k } _{k Îℝ}, где ℝ – множество всех вещественных чисел и " k Îℝ

A_k = { (x, y): | x | + | y | ≥ | k |, где x, y ℝ }

3.

4.

Практическая работа №2

Тема: Функции и отображения.

Задание №1

Даны отображения (числовые функции) ƒ и g. Найдите область определения и область значений отображений. Определите, являются ли они инъективными, сюрьективными или биективными в найденных областях. Найдите композицию ƒ ◦ g, g ◦ ƒ, обратные (слева и справа) отображения: ƒ ^–1, g ^-1, (ƒ ◦ g)^-1, (g ◦ ƒ)^-1. Для заданных множеств A, B Í ℝ найдите f (A), g (A), ƒ ^–1(B), g ^-1(B). Найдите также неподвижные точки отображений.

и , A = [0; 3] и B = [ ‑1; 0].

Решение: область определения отображения f – это множество таких значений х, для которых имеется вещественное число у такое, что у = f (x). И, так как для любого вещественного числа х найдется число у с указанным свойством, то пр₁ f =ℝ – множество всех вещественных чисел.

Аналогично, область определения отображения g: пр₁ g =ℝ.

Область значений отображения f – это множество всех образов элементов х Îпр₁ f. Тем самым, пр₂ f ={ y Î ℝ.: y ³ -1 }. А область значений отображения g – это множество всех вещественных чисел, т.е. пр₂ g =ℝ.

Отображение g является инъективным, поскольку для каждого у Îпр₂ g, имеется ровно один х Î пр₁ g (или каждый образ имеет ровно один прообраз). Отображение f инъективным не является, т.к. для некоторых у Îпр₂ f, имеется более одного прообраза, например: для у =0 прообразами будут х =1 и х =3.

Отображение g является сюрьективным, поскольку для каждого у Îпр₂ g, имеется хотя бы один х Îпр₁ g (или каждый образ имеет хотя бы один прообраз). Отображение f также является сюрьективным, т.к. для каждого у Îпр₂ f, имеется хотя бы один х Îпр₁ f такой, что у = f (x).

Так как g одновременно инъективно и сюрьективно, то оно является биективным отображением.

Найдем композицию отображений:

(f ∘ g)(x) = f (g (x)) = (g (x) – 2)²–1 = (1– x –2)² –1 = (– x –1)² – 1 = (x+ 1)²–1,

(g∘ f)(x) = g (f (x)) =1– f (x) = 1 – (x –2)² +1 = 2 – (x –2)².

Отображение f обратимо справа, как сюрьекция. И , где y ³ –1. Из выражения найдем x. Тогда и , где y ³ –1.

При этом, (f ∘ f ^‑1)(у) = f (f ^‑1(y)) = – тождественное отображение при y ³ ‑1.

Отображение g обратимо как слева, так и справа, как биекция. И , где y любое. Из выражения следует: . И при этом: (g ∘ g ^‑1 )(у) = g (g ^‑1(y)) = 1 – (1– y) = y и (g ^‑1∘ g)(х) = – тождественные отображения.

По свойствам композиции

f (A) = { y = f (x), где x Î A }, поэтому f (A)=[–1; 3].

Аналогично, g (A) = { y = g (x), где x ÎA } = [–2; 1].

Найдем неподвижные точки. По определению это такие х, что: f (x)= x и g (x)= x. Таким образом, x = (x –2)²–1. Отсюда x ²–5 x +3=0 и т. к. дискриминант D =25–12=13>0, то – две неподвижные точки f (x).

Из g (x)= x следует, что x =1– x и – неподвижная точка g (x).

Задание №2

Найти композицию соответствий S Г и множества B,C, если известно множество А={1,2,3,4}, законы R=2x+3 и G=y², Г=(G,A,B), S=(R,B,C).

Решение:

По определению композиция это: S∘Г=(R ∘ G, А, С), в свою очередь, композиция законов это: R ∘ G ={(x, z): $ y Î B и (x, y)Î G и (y, z)Î R }. Значит, для нахождения композиции графиков нужно в график R вместо переменной x подставить график G: R G=2y²+3. Для получения значений элементов множества В, нужно применить закон G к элементам множества А: В={1²,2²,3²,4²}={1,4,9,16}. Получение значений элементов множества С возможно двумя способами: первый – применить закон R к элементам множества В: С={2 }={5, 11, 21, 35}; второй – применить композицию графиков ко множеству А.: C={ }={5, 11, 21, 35}. Результаты двух способов совпадают. Все компоненты найдены и композиция соответствий будет иметь вид: S Г=(2y²+3, {1,2,3,4}, {5,11,21,35})

Задания для самостоятельного решения:

Задание №1

Даны отображения (числовые функции) ƒ и g. Найдите область определения и область значений отображений. Определите, являются ли они инъективными, сюрьективными или биективными в найденных областях. Найдите композицию (ƒ ◦ g), (g ◦ ƒ), обратные (слева и справа) отображения: ƒ ^–1, g ^-1, (ƒ ◦ g)^-1, (g ◦ ƒ)^-1. Для заданных множеств A, B Í ℝ найдите f (A), g (A), ƒ ^–1(B), g ^-1(B). Найдите также неподвижные точки отображений.

Задание №2

Найти композицию соответствий S Г и множества B,C.

Варианты заданий:

Вариант №1

1.

• f=cos(x), g=cos(x)-0.5, A=[- ,], B=(- ]
• f=(x-1)/3, g=y³, A=[-1,2], B=(1,3]
• f=x-3, g=(y+1)², A=[1,12], B=(-4,0)

2.

• A={-2,-4,2,4}, R=x²-1, G=y+2
• A= , R=x/2, G=y²/2

Вариант №2

1.

• f=sin(x)/2, g=2cos(x), A=[- ,], B=(- ]
• f=2(x-1), g=(y+2)/2, A=[1,4], B=[11,0]
• f=x, g=3y², A=(0,1], B=[-1,1)

2.

• A={0,0.1,0.2,0.3,0.4}, R=0.25x-0.75,G=y²
• A= , R=x^0.5, G=y²

Вариант №3

1.

• f=2sin(x), g=1+cos(x), A=[- ,], B=(- ]
• f=x, g=(y²+2)/2, A=[-1,1], B=[5,8]
• f= +x, g=y-2, A=[-1,1], B=(-1,1)

2.

• A={0,1,2,3,4}, R=x+1, G=(y+1)²
• A= , R=x^0.5, G=y²

Вариант №4

1.

• f=sin(x)/3, g=cos(x/3), A=[- ,], B=[- ]
• f=x³-x, g=1- , A=(-1,4), B=[-3,6]
• f=2x, g=y²/3, A=(-5,1), B=[0,-1)

2.

• A={1,3,5,7}, R=x-3,G=(y+5)/3
• A= , R=x+1, G=2y²

Вариант №5

1.

• f=sin(x/2), g=2cos(2x), A=[0, ), B=(- )
• f= , g=y, A=[-2,4], B=(1,10)
• f=-x², g=1/y², A=(0,1], B=[-1,1)

2.

• A={-4,-3,-2,-1}, R=(x-1)²,G=y+1
• A= , R=2x G=y²/2

Вариант №6

1.

• f=sin²(x) g=2cos(x), A=[- ,], B=(-2 ]
• f=x²+1, g=(y+2)/(2-y), A=[-2,2], B=[-6,0)
• f=2x/(1-x²), g=y+3, A=[0,1], B=(-2,0)

2.

• A={1/3,1/9,1/12,1/15}, R=3x, G=y²
• A= , R=1/(x+2), G=y/(1-y)

Вариант №7

1.

• f=sin(x)/2+sin²x, g=cos(x), A=[ ,], B=(- ]
• f=1-x²/2, g=y+2, A=(0,4), B=[-3,3]
• f= , g=y/3, A=(0,1], B=[-1,1)

2.

• A={3,5,9,10}, R=2x, G=1/y;
• A= , R=x+4, G=y/(y+1)

Вариант №8.

• f=sin(x)/2, g=2cos(x), A=[- ,], B=(- ]
• f=2(x-1), g=(y+2)/2, A=[1,4], B=[-11,0]
• f=x, g=3y², A=(0,1], B=[-1,1)

2.

• A={0,0.1,0.2,0.3,0.4}, R=0.25x-0.75,G=y²
• A= , R=x^0.5, G=y²

Вариант №9

1.

• f=sin(x)-1, g=(2cos(x))/3, A=[- ,], B=(- ]
• f=x+х², g=5y+2, A=[-3,3], B=[-4,0]
• f=x/3+1, g=(y+1)², A=(-3,-1), B=(-1,1)

2.

• A={-21, -14, -7, 0, 7, 14, 21}, R=x/7,G=y+7
• A= , R=x+1, G=y/2

Вариант №10

1.

• f=х/2+sin(x), g=cos(x)+cos(x/3), A=[ ,], B=(- ]
• f=2x-х/4, g=y+у², A=(-2,2), B=[1,10]
• f=(x+4)/3, g=y²/2, A=(0,1], B=[1,2)

2.

• A={-1, 1, -2, 2, -3, 3}, R=x, G=y²
• A= , R=2x, G=3y

Вариант №11

1.

• f=sin(x)-2tg(x), g=cos(x)-cos(2)/2, A=[ ,], B=(- ]
• f=(3/x)+(x/3), g=y-y², A=[-3,3], B=[6,9]
• f=2+x, g=3y-1, A=(-2,1), B=(4,1)

2.

• A={0,5,10,15,20}, R=x-5, G=y/5
• A= , R=2x, G=y+2

Вариант №12

1.

• f=tg(3x), g=sin(x)+1, A=[- ,], B=(- )
• f=2x-1, g=1/(y+1), A=(0,2), B=[-3,2]
• f=x-4, g=3y/2, A=(1,1], B=(-4,4)

2.

• A={-1,-3,-5,-7,-9}, R=x+1,G=y/2
• A= , R=x/3, G=y²

Вариант №13

1.

• f=3sin(x), g=sin(x/3), A=[- ,], B=(- ]
• f=3/(x-2), g=y²+3, A=[-1,0], B=(2,12)
• f=x³, g=y-7, A=(-8,8], B=[1,7]

2.

• A={-8, 8, 15, 22, 29}, R=x-1,G=y/7
• A= , R=3x-2, G=2y²

Вариант №14

1.

• f=cos(x), g=tg(x)-1, A=[- ), B=[ ]
• f=1/x, g=y+4, A=[3,7], B=[-7,2]
• f=x⁴, g=2y-2, A=[-10,1], B=[0,5)

2.

• A={5, 3, 6, 4, 2}, R=2x-1,G=y+4
• A= , R=x+2, G=y/3

Вариант №15

1.

• f=(sin(x))/3, g=3cos(x), A=[- ], B=( ]
• f=x²-3, g=(y+2)², A=[2,5], B=(-3,-1)
• f=6x-1, g=4-y², A=(-4,4], B=[2,8)

2.

• A={1/3, 1/6, 1/9, 1/12}, R=(3x)², G=y-3
• A= , R=4x, G=y²-2

Вариант №17

1.

• f=sin(x)/2, g=2cos(x), A=[- ,], B=(- ]
• f=2(x-1), g=(y+2)/2, A=[1,4], B=[11,0]
• f=x, g=3y², A=(0,1], B=[-1,1)

2.

• A={0,0.1,0.2,0.3,0.4}, R=0.25x-0.75,G=y²
• A= , R=x^0.5, G=y²

Вариант №18

1.

• f=sin(x)+cos(x), g=tg(x)/3, A=[- ,], B=()
• f=x², g= , A=[1,4], B=[3,9]
• f=2+x, g=y²/3, A=[-4,4), B=[-2,2]

2.

• A={1/2, 1/3, 1/4, 1/5}, R=3x, G=y+3
• A= , R=2x, G=y/2

Вариант №19

1.

• f=sin(x), g=2ctg(x), A=[ ,], B=(- )
• f=(x/3)+(x/5), g=4y, A=(-1,4], B=[0,9]
• f=x+1, g=y²+4, A=(-6,6], B=[-5,1)

2.

• A={-5, 5, -6, 6, -7, -8, 8}, R=x+4, G=y²
• A= , R=x-5, G=y/3

Вариант №20

1.

• f=tg(x)/2, g=2cos(x), A=[- ,], B=(- ]
• f=x, g=y, A=[-1,1], B=(-3,3)
• f=2x/(x+3), g=y/3, A=(3,4], B=[-2,5)

2.

• A={-1, -2,-3,-5,-7,-11, -13}, R=4x,G=y/2
• A= , R=(x-1)², G=y

Практическая работа №3

Тема: Отношения.

Задание №1

Даны множества и два бинарных отношения: и . Найдите Р ₁^-1, Р ₂^-1, Определите, является ли отношение Р ₂ рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным.

P ₁={(a,1); (a,3); (b,2); (c,1); (c,4)}

P₂={(1,1); (1,3); (2,2); (2,1); (2,4); (3,3); (4,1); (4,4)}

Решение: По определению обратное отношение . Таким образом, Р ₁^-1={(1, a); (3, a); (2, b); (1, c); (4, c)} и P ₂^-1={(1,1); (3,1); (2,2); (1,2); (4,2); (3,3); (4,4); (1,4)}.

По определению композиции бинарных отношений

Таким образом, ={(a,1); (a,3); (b,2); (b,1); (b,4); (c,1); (c,3); (c,4)}.

Тогда ^-1={(1, a); (3, a); (2, b); (1, b); (4, b); (1, c); (3, c); (4, c)}.

={(1, a); (1, c); (3, a); (3, c); (2, b); (1, b); (4, b); (4, c)}

Последние два множества совпадают, что и должно быть по свойствам композиции.

Отношение Р ₂ рефлексивно, т. к. в соответствии с определением рефлексивности .

Отношение Р ₂ не является транзитивным, поскольку по определению транзитивности требуется, чтобы для любых пар (x, y) и (y, z), таких что (x, y) следовало бы, чтобы пара . Однако это не так. Например, пары (2,1) и (1,3) Î Р ₂, но пара (2,3) Ï Р ₂.

Отношение Р ₂ не является симметричным, т. к. по определению симметричности для любой пары (x, y) Î Р ₂ должно быть и (y, x) Î Р ₂. Однако это не так. Например, пара (1,3)Î Р ₂, но пара (3,1) Ï Р _2.

Отношение Р ₂ антисимметрично, поскольку для любой пары (x, y) Î Р ₂ такой, что (y, x) Î Р ₂ обязательно следует, что x = y.

 

Задание №2

Дано бинарное отношение P Í ℕ² и P = { (x, y): x mod y = 2 }, где «mod» – операция нахождения остатка от деления x на y.

Найдите область определения и область значений отношения Р. Является ли отношение Р рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным? Является ли оно отношением эквивалентности или упорядоченности?

Решение: областью значений отношения Р является множество таких натуральных чисел y, что в остатке от деления на y может быть получено значение 2. В качестве такого делителя y можно взять любое натуральное число >2. Таким образом, пр₂ Р = { y Î ℕ: y ³ 3 } – область значений.

Область определения отношения Р – это множество тех натуральных чисел x, для которых может быть получен остаток, равный 2, при делении на y ³ 3. Выразим x через y: x = k ^. y +2, где k =0,1,2,… и y ³ 3. Отсюда возможными значениями x являются числа: 2, 5, 6, 7, 8,… Таким образом, пр₁ Р ={2,5,6,7,8,9,…}=ℕ \ {1,3,4} – область определения.

Отношение Р не является рефлексивным, т. к. для всех x Î ℕ (x, x) Ï P. Действительно, " x Î ℕ Þ x mod x = 0.

Отношение Р не является транзитивным, т. к. существуют такие пары (x, y)Î P и (y, z)Î P, но (x, z)Ï P. Например, пары (7,5) и (5,3) обе Р, но пара (7,3)Ï Р, т. к. 7 mod 3 = 1.

Отношение Р не является симметричным, поскольку существуют такие пары, что (x, y)Î P, но (х, у)Ï Р. Например, пара (7,5)Î Р, но (5,7)Ï Р, т.к. 5 mod 7=5.

По определению антисимметричности для всех таких пар (х, у), что (у, х)Î Р и (х, у)Î Р обязательно следует, что х = у. Но для заданного отношения Р не существует пар (х, у) таких, что (х, у)Î P и (у, х)Î Р, поскольку равенство (х mod y = y mod x =2) не выполняется ни при каких х, у Îℕ. Поэтому данное отношение Р является антисимметричным.

По набору свойств отношение Р не является ни отношением эквивалентности, ни отношением упорядоченности.