Теорема про зміну моменту кількості руху механічної системи

У динаміці поступального руху користуються поняттям кількості руху . При вивченні обертального руху вводиться поняття – момент кількості руху (кінетичний момент). Ця величина вводиться аналогічно моменту сили з заміною сили на вектор кількості руху.

Для окремої матеріальної точки масою момент кількості руху відносно довільної точки простору визначається виразом

, (3.1)

де - радіус-вектор проведений з точки (центру) до матеріальної точки, - її кількість руху. Вектор залежить від кількості руху та положення матеріальної точки відносно точки

Векторний добуток можна обчислити за допомогою матриці

= , (3.2)

де , , та , , - проекції радіус-вектора та швидкості точки на відповідні вісі. Таким чином, момент кількості руху матеріальної точки може бути знайдений за формулою

= =

= . (3.3)

Проекції , , вектора моменту кількості руху на декартові вісі , та називають моментом кількості руху матеріальної точки відносно осі.

Модуль і напрям вектора моменту кількості руху визначається за правилами векторного добутку. На рис. 3.1, зображена площина, в якій лежать вектори та . Напрям моменту кількості руху рухомої матеріальної точки відносно точки спрямований від нас перпендикулярно до площини рисунку, а його модуль можна знайти за формулою

(3.4)

тут – кут між векторами і , а – відстань від точки до лінії вздовж якої спрямована швидкість матеріальної точки .

Замість вектора моменту кількості руху матеріальної точки, часто користуються його алгебраїчним значенням, яке визначається за такими ж самими правилами, що і для визначення моменту сили відносно точки (дивись розділ 1, §1.5). Тоді для точки отримуємо

, (3.5)

а для точки (рис. 3.1)

. (3.6)

Зауважимо: 1) у випадку прямолінійного рівномірного руху точки, її момент кількості руху (кінетичний момент) відносно заданої точки простору залишається незмінним;

2) момент кількості руху матеріальної точки дорівнює нулю, якщо лінія вздовж якої спрямований вектор кількості руху проходить через цю точку.

Момент кількості руху механічної системи є векторною сумою моментів імпульсів (кінетичних моментів) її елементів

. (3.7)

Якщо тверде тіло обертається навколо фіксованої осі, то для знаходження моменту кількості руху, тіло розглядають як сукупність матеріальних точок масами , що знаходяться на незмінних відстанях від осі обертання і обертаються з однаковою для всіх точок кутовою швидкістю . Тоді момент кількості руху відносно осі обертання (дивись рис. 3.2) можна обчислити як суму моментів кількості руху елементів тіла відносно неї

, (3.8)

що у випадку неперервного розподілу маси дає

, (3.9)

де – символ відповідної осі обертання. Сума добутків мас елементів на квадрат їхньої відстані до осі обертання чи відповідний інтеграл по об’єму тіла називається моментом інерції тіла відносно заданої
осі

. (3.10)

Ця фізична величина характеризує інертність тіла при обертанні навколо заданої осі, залежить від розподілу маси в тілі, положення осі обертання і вимірюється в кг·м².