Рух центра мас механічної системи

ЧАСТИНА 2. ДИНАМІКА МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ

Механічною системою називається сукупність матеріальних точок, положення та рух кожної з яких залежить від положення та руху всіх останніх. Зауважимо, що довільне матеріальне тіло можна розглядати як механічну систему, що складається з неперервної сукупності матеріальних точок.

Основною задачею динаміки механічної системи є дослідження її руху під дією сил, прикладених до неї.

Нехай механічна система складається з матеріальних точок. Ці точки взаємодіють між собою внутрішніми силами (це сили, що діють на точку збоку точки ). Крім того, на кожну з них діють зовнішні сили з боку тіл, що не входять в систему, з рівнодійною .

Основними властивостями внутрішніх сил є наступні

= = 0, ,

- векторна сума внутрішніх сил системи (головний вектор внутрішніх сил системи) дорівнює нулю, та

= 0, ,

- векторна сума моментів внутрішніх сил системи (головний вектор моменту внутрішніх сил системи) відносно довільної точки дорівнює нулю.

Що стосується зовнішніх сил, то їх головний вектор може бути знайдений як і раніше (дивись розділ „Статика”)

,

а головний вектор моменту зовнішніх сил відносно заданого центру як

.

Незважаючи на те, що головний вектор внутрішніх сил та головний вектор моменту внутрішніх сил дорівнюють нулю, внутрішні сили можуть бути причиною руху елементів механічної системи. Але існує ряд характеристик системи, які не залежать від внутрішніх сил.

Коли нам не потрібна детальна інформація про всі властивості системи, а достатньо знати окремі параметри, які характеризують рух системи в цілому, в теоретичній механіці вводять певні скалярні та векторні величини. Зміни цих величин визначаються, в основному, зовнішніми силами і описуються наступними теоремами:

- теоремою про рух центра мас;

- теоремою про зміну імпульсу (кількості руху);

- теоремою про зміну моменту імпульсу (кінетичного моменту);

- теоремою про зміну кінетичної енергії.

Рух центра мас механічної системи

Для системи, яка складається з матеріальних точок, положення центра мас механічної системи (радіус-вектор ) визначається виразом

= , (1.1)

де – радіус-вектори матеріальних точок, що входять до системи.

Виходячи з визначення головного вектора зовнішніх сил, можна показати, що центр мас механічної системи рухається як вільна матеріальна точка, маса якої дорівнює сумі мас всіх елементів системи () і на яку діє сила, що дорівнює головному вектору зовнішніх сил

= . (1.2)

Остання формула є математичним записом теореми про рух центра мас механічної системи, в якому – прискорення центра мас.

Векторне рівняння (1.2) еквівалентне трьом скалярним:

, , , (1.3)

в яких , та – компоненти вектора швидкості центра мас, а , та – координати центра мас.

З наведеної теореми випливають наступні наслідки:

1) внутрішні сили не змінюють характер руху центру мас системи;

2) якщо головний вектор зовнішніх сил дорівнює нулю, то центр мас системи рухається рівномірно та прямолінійно, або знаходиться в стані спокою, тобто

, (1.4)

де – початкова швидкість центра мас. Якщо = 0, то

, (1.5)

тобто центр мас системи не змінює свого положення в просторі;

3) якщо проекція головного вектора зовнішніх сил на деяку нерухому вісь (наприклад, ) дорівнює нулю, то проекція швидкості центра мас системи на цю вісь не змінюється

,

і якщо = 0, то

, (1.6)

тобто центр мас системи не змінює свого положення відносно осі .

Контрольні запитання

1. Що таке механічна система? Наведіть приклад.

2. Які сили називають внутрішніми? Вкажіть їхні основні властивості.

3. Які сили називають зовнішніми?

4. Як визначається положення центра мас механічної системи?

5. Сформулюйте теорему про рух центра мас механічної системи.

6. Чи можуть внутрішні сили змінити положення центра маси механічної системи?

7. При яких умовах центр мас системи знаходиться в стані спокою? Рухається прямолінійно та рівномірно?

8. Як впливає на рух центра мас системи прикладені до неї пари сил?

9. Який рух твердого тіла можна розглядати як рух матеріальної точки, що має масу даного тіла?