Методика розв’язання задач. Розглянемо два типи задач, коли на тілі (платформі), що обертається, розташовані тіла, які вважаємо матеріальними точками:

Розглянемо два типи задач, коли на тілі (платформі), що обертається, розташовані тіла, які вважаємо матеріальними точками:

Тип 1) розташування тіл у механічній системі не змінюється при дії на неї моменту зовнішніх сил:

1. Суміщаємо вісь з віссю обертання платформи.

2. Знаходимо проекції моменту кількості руху механічної системи для початкового та кінцевого станів, коли тіла нерухомі відносно платформи

, (1)

, (2)

де – момент інерції платформи відносно осі (якщо вісь не проходить через центр маси, то потрібно скористатися теоремою Гюйгенса-Штейнера), , –початкова та кінцева кутові швидкості платформи, та – маси та віддалі тіл (які вважаємо матеріальними точками) від осі ().

2. Обчислюємо зміну моменту кількості руху за рахунок моменту зовнішніх сил протягом заданого часу

. (3)

3. На підставі теореми про зміну моменту кількості руху записуємо рівняння

, (4)

з якого знаходимо кінцеву кутову швидкість системи.

Тип 2) на систему не діє момент зовнішніх тіл, але в системі відбувається рух тіл, які входять у систему:

1. Суміщаємо вісь з віссю обертання платформи.

2. Знаходимо проекцію моменту кількості руху механічної системи для початкового стану, коли тіла нерухомі відносно платформи

, (4)

де – момент інерції платформи відносно осі , – початкова кутова швидкість, та – маси та віддалі тіл (які вважаємо матеріальними точками) від осі ().

3. Знаходимо момент кількості руху механічної системи для моменту часу , коли точки системи рухаються відносно платформи. В цьому випадку швидкість кожної точки системи знаходимо за формулою складання швидкостей складного руху, тобто

. (5)

Тому для моменту кількості руху рухомої матеріальної точки записуємо

+ .

Вважаючи, що напрям обертання не змінюється, для кінцевого значення проекції моменту кількості руху механічної системи отримуємо

, (6)

де – віддаль від осі обертання до лінії, вздовж якої напрямлений вектор переносної швидкості ; – віддаль від осі обертання до лінії, вздовж якої напрямлений вектор відносної швидкості . При цьому знак «+» в дужках ставимо у випадку, коли напрями векторних добутків та співпадають, а знак «–» - коли ці напрями протилежні.

Оскільки для переносної швидкості точки , де – відстань точки від осі обертання для моменту часу , тоді з рівняння (6) отримуємо

. (7)

4. Прирівнюючи вирази (4) та (7) отримаємо рівняння

,

звідки знаходимо кінцеву кутову швидкість обертання .

Рис. 3.3

Приклад 1. Однорідний диск маса якого = 400 кг і радіус = 5 м обертається навколо вертикальної фіксованої осі, яка проходить через його центр перпендикулярно до його площини з початковою кутовою швидкістю = 4 рад/с (рис. 3.3). На відстані м від осі обертання в стані спокою знаходиться механізм масою = 150 кг. В момент часу = 0 на систему починає діяти момент зовнішніх сил . Визначити кутову швидкість обертання диска в момент часу = 2 с.

Далі диск обертається за інерцією з досягнутим значенням кутової швидкості. В деякий новий момент часу самохідний механізм переміщується в нове положення на відстань = 2 м від центру диску та зупиняється. Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість диску на цей момент, нехтуючи тертям у підшипниках.

Розв’язання. Розглянемо рух механічної системи, сумістивши вісь системи відліку з віссю обертання диску. Скористаємося теоремою про зміну проекції моменту кількості руху механічної системи у інтегральній формі

,

де – - проекція моменту кількості руху системи, який складається з диска та механізму; - головний момент зовнішніх сил, прикладений до системи, відносно осі .

Сили, які діють на систему - це сили тяжіння та , реакції підп’ятника та підшипника і момент зовнішніх сил . Сили тяжіння спрямовані паралельно осі обертання і, відповідно, їхні моменти відносно цієї осі дорівнюють нулю. Не створюють моменту і сили реакції, бо вони перетинають вісь . Отже, головний момент зовнішніх сил дорівнює моменту = .

Момент кількості руху системи є сумою моментів імпульсів її елементів. Момент кількості руху диску, який має момент інерції відносно осі та обертається навколо неї з кутовою швидкістю визначається за формулою

,

в якій - момент інерції диску відносно осі обертання.

Для матеріальної точки, згідно з визначенням (3.1) запишемо проекцію її моменту кількості руху на вісь як

,

де - радіус-вектор, який проведено від осі обертання до точки, а - абсолютна швидкість точки. Якщо точка не рухається відносно диску (), то абсолютна швидкість точки, дорівнює її переносній швидкості, яка визначається за формулою Ейлера

,

отже

.

Таким чином проекція моменту кількості руху системи на вісь може бути записана у вигляді

,

а рівняння зміни моменту кількості руху під дією зовнішнього моменту сил приймає вигляд

.

Звідки отримуємо

.

Підставляючи чисельні значення, знаходимо

рад/c.

Після того, як перестав діяти момент зовнішніх сил , диск обертається у відсутності сил тертя за інерцією. Така ситуація дає можливість скористатись теоремою про збереження проекції моменту кількості руху на цю вісь

,

де та - відповідно - проекції початкового і кінцевого моменту кількості руху системи. Прирівнюючи отримані вирази для моменту кількості руху системи у початковий та кінцевий моменти часу маємо

= ,

що дозволяє отримати вираз для розрахунку кінцевої кутової швидкості обертання диску

.

Підставляючи чисельні значення, знаходимо

рад/c.

Відповідь: = 4,6 рад/с.

Приклад 2. Однорідний диск маса якого = 300 кг і радіус = 8 м обертається навколо вертикальної фіксованої осі, яка проходить через його центр перпендикулярно до його площини з кутовою швидкістю = 5 рад/с. На відстані = 7 м від центру диску в стані спокою знаходиться механізм масою = 100 кг. В момент часу = 0 механізм починає рухатись вздовж кола незмінного радіуса за законом в напрямі обертання диску (відстань в метрах, час в секундах). Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість диску як функцію часу та її значення на момент часу = 2 с.

Рис. 3.4

Розв’язання. Сумістимо вісь системи відліку з віссю обертання диску та позначимо сили, які діють на систему - це сили тяжіння диска та механізму , реакції підп’ятника та підшипника (рис. 3.4). Ці сили не створюють моментів відносно осі , тому скористуємось теоремою про збереження проекції моменту кількості руху на цю вісь

,

де та початкова і кінцева - проекції моменту кількості руху системи відповідно. Вираз для початкової проекції моменту кількості руху знайдено у попередньому прикладі

.

Коли механізм почне рухатися, абсолютна швидкість точки складається зі швидкості відносного та переносного рухів, яку має будь-яка точка диску завдяки обертанню диска, тому для моменту кількості руху точки маємо

,

де - радіус-вектор, який проведено від осі обертання до точки. Швидкість переносного руху точки у довільний момент часу

,

модуль відносної швидкості визначимо як першу похідну відносного переміщення точки за часом

,

і спрямована вона по дотичній до траєкторії відносного руху.

Беручи до уваги напрям руху точки та, вважаючи, що напрям обертання диску не змінився, для абсолютної швидкості точки отримаємо

.

Записуємо кінцеве значення - проекції моменту кількості руху точки

,

і остаточно для кінцевого значення - проекції моменту кількості руху системи знайдемо

,

де - кінцева кутова швидкість обертання диску.

Тоді з умови збереження - проекції моменту кількості руху механічної системи отримуємо вираз для знаходження кінцевої кутової швидкості диску

.

Підставимо дані задачі та обчислимо значення для кінцевої кутової швидкості диску на момент часу = 2 с

= 4,03 рад/с.

Відповідь: = 4,03 рад/с.

Самостійно проаналізуйте задачу, для випадку коли відносна швидкість механізму протилежна переносній швидкості точок диска.

Приклад 3. Квадратна однорідна платформа маса якої = 300 кг і розмір = 3 м обертається навколо вертикальної фіксованої осі, що проходить через центр платформи перпендикулярно до її площини з кутовою швидкістю
= 5 рад/с (рис. 3.5). Механізм масою = 50 кг знаходиться в точці в стані спокою. В момент часу = 0 починає діяти момент зовнішніх сил (Н^.м) і діє протягом часу . Визначити кутову швидкість обертання тіла та її значення при = 4 с.

Після цього дія зовнішнього моменту припиняється і в новий момент часу = 0 механізм починає рухатись вздовж прямої за законом (відстань в метрах, час в секундах). Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти куто

Рис. 3.5

ву швидкість платформи на момент часу Т = 1 с.

Розв’язання. Сумістимо вісь системи відліку з віссю обертання платформи та позначимо сили, які діють на систему - це сили тяжіння диска та механізму , реакції підп’ятника та підшипника та момент зовнішніх сил (рис. 3.6). Головний момент зовнішніх сил визначається тільки моментом , оскільки усі вказані сили не створюють моментів відносно осі .

Запишемо теорему про зміну - проекції моменту кількості руху механічної системи

Рис. 3.6

, (1)

де та - початкова і кінцева - проекції моменти кількості руху системи відповідно.

Знайдемо вираз для моменту кількості руху механічної системи у довільний момент часу. Він складається з моментів імпульсів платформи та нерухомого відносно платформи механізму, отже отримуємо , (2)

де - момент інерції плат
форми відносно заданої осі обертання.

Оскільки в початковий момент механізм нерухомий, то його абсолютна швидкість дорівнює переносній

,

тому отримуємо

. (3)

Підставляючи дані задачі послідовно знаходимо

_z = 300∙(3² + 3²)/3 = 1800 кг∙м²,

= 50∙2∙3²∙ = 900∙ кг∙м²/c,

.

Після цього обчислюємо інтеграл.

кг∙м²/c.

Підставляючи отримані результати у формулу (1), отримуємо

,

звідки знаходимо значення кутової швидкості у заданий момент часу з врахуванням умов задачі

рад/с.

Після цього моменту, згідно з умовами задачі, дія моменту зовнішніх сил припиняється і далі обертання платформи здійснюється у відсутності сил тертя. Це дає можливість скористатися теоремою про збереження проекції моменту кількості руху на вісь z

, (4)

де – - проекція моменту кількості руху у довільний момент часу .

Вираз для згідно (3) має вигляд

= . (5)

Рис. 3.7.

Коли механізм рухається, його абсолютна швидкість дорівнює , тому вираз для - проекції моменту кількості руху системи у довільний момент часу прийме вигляд

(6)

де – кутова швидкість обертання платформи, та - віддалі від точки до ліній, вздовж яких напрямлені швидкості переносного руху та відносного руху , відповідно.

Для обчислення виразу (6) в момент часу Т = 1 с. визначаємо:

1) положення механізму на траєкторії відносного руху

м.

Оскільки (м), то механізм знаходиться в точці (рис. 3.7), тобто

2) швидкість переносного руху механізму ;

3) величину . Для цього визначаємо кут (см. рис. 3.5) з геометричних міркувань: = 0,447, тоді
= 3·0,447 = 1,34 (м)

4) швидкість відносного руху = 6,71 (м/с).

Таким чином, вираз для кінцевого значення - проекції моменту кількості руху, з урахуванням напрямів векторів та , запишемо в вигляді

. (7)

Прирівнюючи вирази в (4) (5) та (7) отримуємо рівняння для визначення кутової швидкості

,

звідки знаходимо

= 1,4 рад/с.

Відповідь: = 1 рад/с, =1,4 рад/с.

Приклад 4. Тіло утворено стрижнем довжиною = 0,5 м та масою = 37 кг, до кінця якого приєднано однорідний диск масою
= 290 кг, радіус якого 0,8 м. (рис. 3.8). Тіло обертається з кутовою швидкістю
= 2 рад/с навколо вертикальної фіксованої осі, яка перпендикулярна до площини, в який лежить

Рис. 3.8

стрижень та диск. Механізм масою = 10 кг знаходиться в точці в стані спокою. В момент часу = 0 починає діяти момент зовнішніх сил (Н^.м) і діє протягом часу . Нехтуючи силами тертя у підшипнику та підп’ятнику, визначити кутову швидкість обертання тіла при = 4 с.

Після цього в новий момент часу = 0 тіло продовжує обертання за інерцією, а механізм починає рухатись вздовж дуги за законом (відстань в метрах, час в секундах). Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість диску на момент часу Т = 1 с.

Розв’язання. Сумістимо вісь системи відліку з віссю обертання платформи. Запишемо теорему про зміну - проекції моменту кількості руху механічної системи

, (1)

де та - початковий і кінцевий моменти кількості руху системи відповідно, - головний момент зовнішніх сил, прикладений до системи, відносно осі .

Рис. 3.9

Вкажемо зовнішні сили, які діють на систему - це сили тяжіння диска , стрижня та механізму , реакції підшипника та підп’ятника та пара сил з моментом (рис. 3.9). Головний момент зовнішніх сил визначається тільки моментом , оскільки усі вказані сили не створюють моментів відносно осі .

Знайдемо вираз для моменту кількості руху механічної системи у довільний момент часу. Він складається з моментів імпульсів стрижня, диска та механізму, отже отримуємо

, (2)

де

м.

Момент інерції стрижня та диска відносно осі z знаходимо скориставшись теоремою Гюйгенса - Штейнера

кг·м².

Рис. 3.10

Оскільки протягом часу дії зовнішнього моменту сили механізм не рухається відносно диску, знаходячись у точці А (рис. 3.10), то його абсолютна швидкість дорівнює переносній

,

модуль якої дорівнює

.

Тому отримуємо вираз для моменту кількості руху системи на будь-який момент часу

 

. (3)

Після цього згідно з (1) обчислюємо визначений інтеграл.

кг·м²/с.

Підставляючи отримані результати у формулу (1), отримуємо вираз, який дозволяє знайти кутову швидкість обертання тіла у довільний момент часу

,

і знаходимо значення кутової швидкості у заданий момент часу

рад/с.

Після цього моменту, згідно з умовами задачі, дія моменту зовнішніх сил припиняється і далі обертання платформи здійснюється у відсутності сил тертя. Це дає можливість скористатися теоремою про збереження моменту кількості руху відносно осі

, (4)

де – проекція моменту кількості руху у момент часу ,

– проекція моменту кількості руху у момент часу Т = 1 с.

знаходимо з формули (3)

кг·м²/с.

Коли механізм рухається, його абсолютна швидкість дорівнює , тому вираз для - проекції моменту кількості руху системи у довільний момент часу прийме вигляд

, (5)

де – кутова швидкість обертання платформи, та - відстані від точки до ліній, вздовж яких напрямлені швидкості переносного руху та відносного руху , відповідно.

Для розв’язання другої частини задачі визначаємо:

1) положення механізму на траєкторії відносного руху в заданий момент часу

м,

,

та позначаємо його точкою А ₁ (рис. 3. 11).

2) швидкість відносного руху ,

м/с,

яка спрямована по дотичній до траєкторії відносного руху (рис. 3.11),

3) відстань від осі обертання (точки на рис. 3.11) до лінії, вздовж якої напрямлена швидкість відносного руху

= 0,5 м.

4) відстань механізму від осі обертання переносника = DA ₁ з трикутника DA ₁ О

= 1,39 м.

Рис. 3.11

5) швидкість переносного руху механізму

.

Таким чином, вираз (5) для кінцевого значення проекції моменту кількості руху, з урахуванням напрямів векторів та , запишемо в вигляді

,

в якому кутова швидкість диску на момент часу Т та обчислимо його

.

Прирівнюючи вирази , отримуємо рівняння для визначення кутової швидкості

,

звідки знаходимо

рад/с.

Відповідь: = = 6 рад/с, рад/с.