Задача ДС.3. Застосування теореми про зміну моменту кількості руху для визначення кутової швидкості механічної системи

Однорідна платформа масою кг (рис. 1 - 8) обертається навколо вертикальної фіксованої осі , яка проходить перпендикулярно площині з початковою кутовою швидкістю рад/с. В точці в стані спокою знаходиться механізм масою кг. В момент часу = 0 починає діяти момент зовнішніх сил (Н∙м). Визначити кутову швидкість обертання платформи в момент часу .

Далі платформа обертається за інерцією з досягнутим значенням кутової швидкості. В деякий новий момент часу = 0 самохідний механізм починає рухатись за законом вздовж траєкторії ( - сталі величини; відстань в метрах, час в секундах). Вважаючи механізм матеріальною точкою та нехтуючи тертям в осі підшипника та підп’ятника, знайти кутову швидкість платформи як функцію часу та її значення на момент часу = с.

Для рис. 1 масою стрижня DA нехтувати.

Необхідні дані наведені в таблиці ДС.3. Розміри платформи всіх елементів конструкції наведені в метрах.

 

1	2
3	4
5	6
7	8

 

Таблиця ДС.3 – вихідні дані для задачі ДС.3

№	рис.
			0,8	0,5						0,4
			-						1,5	0,5
			0,5	-						0,5
			0,8	-
			0,6	0,2						0,6
			-
			0,8	0,3						1,2
			-
			0,6	0,2						0,3
			-
			0,5	-						0,5
			1,2	-
			0,5	0,3						0,5
			-
			0,9	0,4						1,35
			-
			0,4	0,2						0,2
			-						0,5	1,5
			0,8	-						0,8
			0,6	-

Закінчення таблиці ДС.3

№	рис.
			0,9	0,2						0,9
			-
			0,6	0,2						0,9
			-
			0,7	0,3						0,35
			-
			0,6	-						0,6
			0,5	-
			1,2	0,4						1,2
			-

Теорема про зміну кінетичної енергії

Механічної системи

Скалярна величина, яка дорівнює половині добутку маси точки на квадрат її швидкості, називається кінетичної енергією точки

= . (4.1)

Кінетичною енергією системи матеріальних точок називається сума кінетичних енергії усіх точок системи

= . (4.2)

1. Якщо тверде тіло здійснює поступальний рух, то швидкості всіх його точок однакові і його кінетична енергія визначається як половина добутку маси тіла на квадрат швидкості

= . (4.3)

2. Якщо тверде тіло обертається навколо нерухомої осі (наприклад, ) з кутовою швидкістю , то його кінетична енергія дорівнює половині добутку моменту інерції тіла відносно осі обертання на квадрат кутової швидкості

. (4.4)

3. Якщо тверде тіло здійснює плоский рух, то такий рух можна розглядати як суперпозицію двох простих рухів – поступального руху центра мас зі швидкістю та обертального руху з кутовою швидкістю навколо осі, що проходить через центр мас перпендикулярно площині руху. Тоді його кінетична енергія визначається як

+ . (4.5)

4. Якщо механічна система складається з декількох тіл, то її кінетична енергія дорівнює сумі кінетичних енергій всіх тіл, що входять в систему, тобто

. (4.6)

Нагадаємо, що розмірністю кінетичної енергії в системі SI є 1 Дж = 1 Н·м.

Для характеристики дії сили на матеріальну точку на деякому шляху вводиться міра цієї дії, яка називається роботою. Елементарна робота сили при елементарному переміщенні матеріальної точки на визначається за правилами скалярного добутку як

= · = , (4.7)

де – кут між векторами та . Отже, ця фізична величина має розмірність джоуль і може бути як додатною, так і від’ємною:

– додатна, якщо кут між напрямом сили та переміщенням гострий;

– дорівнює нулю, якщо цей кут прямий;

– від’ємна, якщо цей кут тупий.

Робота сили при переміщенні матеріальної точки від точки до точки визначається інтегралом

= . (4.8)

Розглянемо роботу конкретних сил, які можуть діяти в механічній системі.

Рис. 4.1

1. Робота сил однорідного поля тяжіння виконується силами тяжіння при переміщенні тіла (матеріальної точки) масою з початкового в кінцеве положення. Ця робота не залежить від форми траєкторії, і визначається лише різницею кінцевого тапочаткового положень тіла вздовж вертикалі. Наприклад, при переміщенні тіла з положення 1 в положення 2 (догори) по довільній траєкторії (рис. 4.1), робота сил тяжіння визначається як

, (4.9)

і буде від’ємною оскільки > . В таких випадках говорять про виконання роботи проти сили тяжіння. Навпаки, при переміщенні тіла з положення 2 в положення 1 (вниз) робота сил тяжіння буде додатною

> 0, (4.10)

і говорять про те, що така робота виконана силою тяжіння.

2. Робота сили пружності при розтягуванні (стискуванні) пружини жорсткістю від положення до положення визначається як

, (4.11)

де – довжина недеформованої пружини, і також не залежить від траєкторії точки, а залежить лише від її кінцевих положень.

3. Робота сил при повороті тіла на кінцевий кут при обертанні навколо нерухомої осі (наприклад, ) визначається рівнянням

, (4.12)

де – момент зовнішньої сили відносно нерухомої осі, а – кут, на який повернулося тіло.

4. Робота сил тертя ковзання. Оскільки сила тертя завжди направлена в бік, протилежний відносній швидкості (проти переміщення), то робота сила тертя визначиться взятому зі знаком мінус добутку модуля сили тертя = ( – коефіцієнт тертя ковзання, – реакція опори) на довжину траєкторії

. (4.13)

5. Робота сил тертя кочення. Якщо тіло котиться без ковзання по поверхні іншого нерухомого тіла, сила тертя кочення створює момент = і для роботи сили тертя кочення отримуємо

, (4.14)

де – – коефіцієнт тертя кочення, – кут, на який повернулося тіло.

Зауважимо, що на відміну від кінетичної енергії системи, яка є функцією стану системи, робота є функцією процесу, які мають місце в системі і між цими величинами існує певний зв’язок.

Якщо в процесі руху механічна система перейшла з одного стану, який вона мала в момент часу = 0, в інший, що відповідає моменту часу , то можна отримати зв’язок між зміною кінетичної енергії та роботою сил, які прикладені до системи

, (4.15)

де та – кінетична енергія механічної системи в кінцевому та початковому станах, а – повна робота, яку здійснюють при цьому переміщенні всі прикладені до системи внутрішні () та зовнішні () сили.

Рівняння (4.15) є записом теореми про зміну кінетичної енергії в інтегральній формі: зміна кінетичної енергії механічноїсистеми за певний проміжок часу дорівнює сумі робіт внутрішніх та зовнішніх сил, які діють на елементи системи протягом даного проміжку часу.

Відмітимо, що у випадку, коли матеріальна система складається з абсолютно твердих тіл (тобто коли можна нехтувати деформаціями в цій системі), то під дією внутрішніх сил не відбувається зміщень частинок системи, тому сума робіт всіх внутрішніх сил абсолютно твердого тіла при любому його переміщенні дорівнює нулю і теорема про зміну кінетичної енергії набуває вигляду

. (4.16)

Контрольні запитання

1. Що таке кінетична енергія? У яких одиницях вона вимірюється? Чи може кінетична енергія мати від’ємне значення?

2. Як обчислити кінетичну енергію поступального, обертального та плоского рухів твердого тіла?

3. Що таке робота? У яких одиницях вона вимірюється?

4. Чи може робота сили мати від’ємне значення? В яких випадках?

5. Для яких сил робота не залежить від траєкторії руху тіла?

6. Сформулюйте теорему про зміну кінетичної енергії.

7. В яких випадках робота внутрішніх сил дорівнює нулю?