Частные производные и дифференциал

Функции нескольких переменных

Для того, чтобы сформулировать понятие частной производной, введем понятие частного и полного приращения функции.

Рассмотрим функцию Придадим аргументу х приращение D х, а переменную у оставим без изменения, тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается D _хz,

Аналогично, если переменной у дать приращение D у, а х оставить без изменения, то функция z получит приращение, которое называется частным приращением z по у и обозначается D _уz,

Если переменным х и у дать приращение соответственно D х и D у, то функция z получит приращение D z, которое называется полным приращением функции,

Определение. Частной производной первого порядка функции двух переменных называется предел частного приращения функции к приращению соответствующего аргумента при стремлении последнего к нулю.

Частные производные обозначаются так:

Частная производная по х

(13)

частная производная по у

(14) Геометрический смысл частных производных (рис. 14)

Частная производная – угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости у = у ₀ (х = х ₀) в соответствующей точке.

 

z

 

 

0 y ₀ y

x ₀ M₀

 

x

Рис. 14

Частная производная есть скорость изменения функции относительно х (у) при постоянном у (х).

Пример 3. Найти частные производные функций

а) б)

Решение

а)

б)

При нахождении частных производных следует помнить по какой переменной ищется производная (при этом вторая переменная считается постоянной).

Правила вычисления производных функции нескольких переменных такие же, как и для функции одной переменной.

Рассмотрим функцию

Определение. Функция z называется дифференцируемой в точке М (х;у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:

где A ₁, A ₂ – числа, не зависящие от D x, D y,

a, b – бесконечно малые при D х ® 0, Dу ® 0.

Определение. Главная часть приращения функции z, линейная относительно D x и D y называется полным дифференциалом функции и обозначается

d z = A ₁D x + A ₂D y.

Определение. Дифференциалом независимой переменной называется приращение этой переменной, т.е.

dx = D x, dy = D y.

Теорема 1. Если функция имеет непрерывные частные производные в данной области, то эта функция дифференцируема в этой области и ее дифференциал выражается формулой

(15)

Выражения называются частными дифференциалами.

Пример 4. Найти частные и полный дифференциал функции

Решение

Частные дифференциалы: .

Полный дифференциал:

При малых D x и D y D z» dz или

Таким образом имеем:

(16)

Формула (16) используется в теории приближенных вычислений для нахождения приближенного значения функции двух переменных.

С помощью частных производных легко находить производную функции, заданной неявно.

Теорема 2. Пусть непрерывная функция у от х задается неявно уравнением

, (17)

где – непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (х; у), координаты которой удовлетворяют уравнению (17) и . Тогда

(18)

Замечание. Для функции справедливы формулы:

(19)

Пример 5. Найти производные функции, заданной неявно:

а) б) .

Решение

Чтобы воспользоваться формулой (18), найдем .

а) . Тогда

б) Для того, чтобы воспользоваться формулой (19), найдем , .

. , Тогда

Пусть функция имеет непрерывные частные производные в точке М (х, у). Эти производные в свою очередь являются функциями двух переменных х и у. Частные производные по х и по у от частных производных первого порядка, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции в точке М (х, у) и обозначаются:

Частные производные называются смешанными.

Теорема 3. Если функция и ее частные производные определены и непрерывны в точке М (х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

. (20)

Аналогично тому, как были определены частные производные второго порядка определяются производные третьего и более высокого порядка. Вообще, частная производная n -го порядка есть первая производная от производной (n – 1) порядка.

Пример 6. Найти все производные второго порядка от функции

Решение

§ 4. Экстремум функции нескольких переменных

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности в точке М ₀(х ₀, у ₀).

Определение. Точка М ₀(х ₀, у ₀) называется точкой максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки М ₀, такая, что для всех точек М (х, у) из этой окрестности выполняется неравенство

Особое внимание следует обратить на локальный характер точек максимума и минимума функции, так как речь идет о максимальном и минимальном значении лишь в достаточно малой окрестности точки (х ₀, у ₀). Эти точки иногда так и называют точками локального максимума и минимума или точками локального экстремума.

Теорема 4 (необходимое условие экстремума).

Если функция имеет в точке М ₀(х ₀, у ₀) экстремум и в этой точке существуют частные производные и , то

и (21)

Точки, в которых частные производные равны нулю называются критическими или стационарными.

Равенство нулю частных производных выражает лишь необходимое условие существования экстремума. Так как есть такие точки, в которых частные производные обращаются в нуль, но экстремума в этих точках функция не достигает. Такие точки называются седловыми.

Теорема 5 (достаточное условие существования экстремума).

Пусть функция , непрерывная вместе со своими частными производными первого и второго порядка в некоторой окрестности точки М₀(х₀,у₀), удовлетворяет условиям (21).

Обозначим ,

Тогда в точке М ₀ функция имеет:

1) минимум, если D > 0 и А > 0;

2) максимум, если D > 0 и А < 0;

3) не имеет экстремума, если D < 0.

В случае D = 0 вопрос о наличии экстремума функции в точке М ₀ остается открытым, требуются дополнительные исследования.

Таким образом, исследование функции 2-х переменных на экстремум можно проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Найти .

3. Решить систему уравнений и найти критические точки функции.

4. Вычислить А, В, С в критических точках и с помощью теоремы (5) сделать вывод о наличии экстремума в критических точках.

5. Найти экстремальные значения функции.

Пример 7. Исследовать на экстремум функцию

Решение

1. Областью определения является вся числовая плоскость.

2.

Получили две критические точки М ₁(0;0) и М ₂(3;3). Исследуем каждую из них на экстремум

4. = 0 = 18

= –9 = – 9

= 0 = 18

М ₁(0;0) М ₂(3;3)

,

А = 18 > 0, следовательно,

М ₂(3;3) – точка минимума

функции.

z_min (3;3) = 27 + 27 – 81 = – 27.

 

Расчетные задания

Задача 1. Установить, какая поверхность определяется данным уравнением и построить эту поверхность

1.1.	1.2.
1.3.	1.4.
1.5.	1.6.
1.7.	1.8.
1.9.	1.10.
1.11.	1.12.
1.13.	1.14.
1.15.	1.16.
1.17.	1.18.
1.19.	1.20.
1.21.	1.22.
1.23.	1.24.
1.25.	1.26.
1.27.	1.28.
1.29.	1.30.

 

Задача 2. Найти область определения указанных функций.

2.1.	2.2.
2.3.	2.4.
2.5.	2.6.
2.7.	2.8.
2.9.	2.10.
2.11.	2.12.
2.13.	2.14.
2.15.	2.16.
2.17.	2.18.
2.19.	2.20.
2.21.	2.22.
2.23.	2.24.
2.25.	2.26.
2.27.	2.28.
2.29.	2.30.

Задача 3. Найти Для функции из п. а) найти в точке М₀.

3.1. а)

б)

в)

3.2. а)

б)

в) .

3.3. а)

б)

в)

3.4. а)

б)

в) .

3.5. а)

б)

в)

3.6. а)

б)

в) .

3.7. а)

б)

в)

3.8. а)

б)

в) .

3.9. а)

б)

в)

3.10. а)

б)

в) .

3.11. а)

б)

в)

3.12. а)

б)

в) .

3.13. а)

б)

в)

3.14. а)

б)

в) .

3.15. а)

б)

в) .

3.16. а)

б)

в) .

3.17. а)

б)

в) .

3.18. а)

б)

в)

3.19. а)

б)

в) .

3.20. а)

б)

в)

3.21. а)

б)

в) .

3.22. а)

б)

в) .

3.23. а)

б)

в) .

3.24. а)

б)

в)

3.25. а)

б)

в) .

3.26. а)

б)

в) .

3.27. а)

б)

в)

3.28. а)

б)

в) .

3.29. а)

б)

в) .

3.30. а)

б)

в)

Задача 4. Найти частные и полный дифференциал указанных функций.

4.1.	4.2.
4.3.	4.4.
4.5.	4.6.
4.7.	4.8.
4.9.	4.10.
4.11.	4.12.
4.13.	4.14.
4.15.	4.16.
4.17.	4.18.
4.19.	4.20.
4.21.	4.22.
4.23.	4.24.
4.25.	4.26.
4.27.	4.28.
4.29.	4.30.

Задача 5. Найти Убедиться в том, что

5.1.	5.2.
5.3.	5.4.
5.5.	5.6.
5.7.	5.8.
5.9.	5.10.
5.11.	5.12.
5.13.	5.14.
5.15.	5.16.
5.17.	5.18.
5.19.	5.20.
5.21.	5.22.
5.23.	5.24.
5.25.	5.26.
5.27.	5.28.
5.29.	5.30.

Задача 6. Исследовать на экстремум следующие функции.

6.1.	6.2.
6.3.	6.4.
6.5.	6.6.
6.7.	6.8.
6.9.	6.10.
6.11.	6.12.
6.13.	6.14.
6.15.	6.16.
6.17.	6.18.
6.19.	6.20.
6.21.	6.22.
6.23.	6.24.
6.25.	6.26.
6.27.	6.28.
6.29.	6.30.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Баврин, И. И. Высшая математика: учеб. для студ. естественно-научных специальностей педагогических вузов / И.И. Баврин. – М.: «Академия»,2004, – 616 с.

2. Мордкович, А. Г., Солодовников, А. С. Математический анализ: учеб. пособие / А.Г. Мордкович, А.С. Солодовников. – М.: Вербум-М, 2000, – 416 с.

3. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учеб. для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко и др.; под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 1998,–567с.

4. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебник для втузов в 2-х т. / Н.С. Пискунов – М.: Интеграл-Пресс, 2003, –

Т.1. ‑ 416 с.

Т.2. ‑ 544 с.

5. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменый. – 9- е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009, ‑ 520 с.

6. Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. – 8-е изд. ‑ М.: Айрис-пресс, 2010, ‑ 576 с.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Основные сведения из теории 3

§ 1.Поверхности второго порядка 3

§ 2. Понятие функции нескольких переменных 12

§ 3. Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных 16

§ 4. Экстремум функции нескольких переменных 23

Расчетные задания 26

Библиографический список 37