Гиперболический параболоид

Определение. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат Oxyz определяется уравнением:

(10)

где p > 0, q > 0 – параметры гиперболического параболоида.

Уравнение (10) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.

Данная поверхность представлена на рисунке (5).

Рис. 5 Гиперболический параболоид

Как и в предыдущих случаях, исследовать данную поверхность можно с помощью метода параллельных сечений.

Цилиндрические поверхности

Определение. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) (рис.6) называется поверхность, описываемая прямой l (образующей), движущейся вдоль некоторой линии L (направляющей) и остающейся параллельной исходному направлению.

Рис. 6. Цилиндрическая поверхность

Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.

Можно доказать, что F (x, y) = 0 (нет z) есть уравнение цилиндра, образующие которого параллельны оси O z. Аналогично F (x, z) = 0 (нет у) – уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси О у, а F (y, z) = 0 (нет х) – уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси О х.

Определение. Цилиндром второго порядка называется цилиндрическая поверхность, направляющей которой является эллипс (окружность), гипербола или парабола.

Название цилиндра определяется названием направляющей. Если направляющей служит эллипс

в плоскости х О у, то соответствующая цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром (рис.7).

Рис. 7. Эллиптический цилиндр

Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение

Уравнение

определяет в пространстве гиперболический цилиндр (рис. 8).

Уравнение x ² = 2 рy определяет в пространстве параболический цилиндр (рис.9).

Рис. 8. Гиперболический цилиндр Рис. 9. Параболический цилиндр

В зависимости от того, в какой координатной плоскости лежит направляющая и какой оси координат параллельны образующие возможны другие варианты расположения цилиндров.

Коническая поверхность

Определение. Поверхность, образованная прямыми линиями (образующими), проходящими через данную точку Р (вершину) и пересекающими данную плоскую линию L (направляющую), P Ï L, называется конической поверхностью (рис.10).

L – направляющая конической поверхности; l – образующая конической поверхности; Р – вершина конической поверхности.

0 y

x L

Рис. 10

Определение. Конусом второго порядка (конусом) называется поверхность, определяемая в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением:

(11)

Уравнение (11) называется каноническим уравнением конуса. Данная поверхность изображена на рисунке (11).

Рис. 11. Конус

Если a = b в уравнении (11), то оно примет вид:

(12)

И определяет конус вращения вокруг оси О z.