Основные сведения из теории
Поверхности второго порядка
Определение. Поверхностью второго порядка называется любая поверхность, уравнение которой в прямоугольной системе координат имеет вид:
Ах 2 + Ву 2 + Сz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Kz + L = 0.
Исследование поверхностей второго порядка проводится по их уравнениям с использованием метода параллельных сечений, суть которого сводится к изучению линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями им параллельными. К поверхностям второго порядка относятся эллипсоиды, параболоиды, гиперболоиды, цилиндрические и конические поверхности.
Эллипсоид
Определение. Эллипсоидом называется поверхность, определяемая в прямоугольной системе координат Охуz уравнением:
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. Рассмотрим сечения эллипсоида координатными плоскостями.
Плоскость хОу (z = 0) пересекает эллипсоид по эллипсу, который определяется уравнениями:
Аналогично, плоскость уОz (x = 0) пересекает эллипсоид по эллипсу, определяемому уравнениями:
Плоскость хОz (y = 0) – по эллипсу, который определяется уравнениями:
Если рассмотреть сечения эллипсоида плоскостями, параллельными координатным, то можно убедиться в том, что самые большие эллипсы получаются именно в сечениях координатными плоскостями. Эллипсоид изображен на рисунке (1).
Рис. 1 Эллипсоид
Если в уравнении (1) a ¹ b, b ¹ c, c ¹ a, то эллипсоид называется трехосным, если какие-либо две полуоси равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Например, если a = b, то получаем эллипсоид вращения вокруг оси Оz.
(2)
При a = b = c эллипсоид превращается в сферу с уравнением:
(3)
Однополостный гиперболоид
Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в прямоугольной системе координат Охуz уравнением:
(4)
Уравнение (4) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Величины a, b, c называются полуосями однополостного гиперболоида. Вид данной поверхности представлен на рисунке (2).
Рис 2. Однополостный гиперболоид
В сечении однополостного гиперболоида координатной плоскостью уОz (x = 0) получается гипербола, определяемая уравнениями
а плоскость хОz (y = 0) пересекает однополостный гиперболоид по гиперболе, которая определяется уравнением
В сечениях данной поверхности плоскостями z = h, параллельными плоскости хОу, получаются эллипсы, полуоси которых увеличиваются по мере удаления от плоскости хОу. Наименьший эллипс лежит в координатной плоскости хОу и имеет уравнение
Если a = b в уравнении (4), то получим однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Оz, его уравнение
(5)
Двуполостный гиперболоид
Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением
(6)
Уравнение (6) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида. Величины a, b, c называются полуосями двуполостного гиперболоида. Вид этой поверхности представлен на рисунке 3
Рис. 3. Двуполостный гиперболоид
В сечении этой поверхности плоскостями хОz (y = 0) и yOz (x = 0) получаются гиперболы, соответственно определяемые уравнениями
и 
Сечения этого гиперболоида плоскостями z = h, где ½ h ½ > c, параллельными координатной плоскости хОу, представляют собой эллипсы.
Если в уравнении (6) a = b, то оно примет вид:
(7)
и будет определять гиперболоид вращения вокруг оси Оz.
Эллиптический параболоид
Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат Oxyz определяется уравнением:
(8)
где p > 0, q > 0 – параметры эллиптического параболоида.
Уравнение (8) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида. Вид поверхности представлен на рисунке (4).
Рис. 4. Эллиптический параболоид
Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями xOz (y = 0) и yOz (x = 0) представляют собой параболы, определяемые соответственно уравнениями:
Сечения данной поверхности плоскостями z = h (h > 0) приводят к эллипсам
которые увеличиваются по мере удаления от плоскости хОу. Точка О(0;0;0) называется вершиной эллиптического параболоида. При р = q уравнение (8) примет вид:
(9)
Оно определяет параболоид вращения вокруг оси Оz.
