Понятие функции нескольких переменных

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Многим явлениям присуща многофакторная зависимость, исследования которых и привело к необходимости введения понятия функции двух и более переменных.

Наиболее простым случаем функции нескольких переменных является функция 2-х переменных.

Пусть D Ì R² – произвольное множество точек координатной плоскости R².

Определение. Переменная z называется функцией независимых переменных х и у, если каждой паре (х; у) из некоторой области D по какому-либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z.

Символически функция 2-х переменных обозначается так: . Переменные х, у называются аргументами или независимыми переменными.

Определение. Совокупность пар (х; у) значений х и у, при которых определяется функция называется областью определения этой функции.

Множество D – это и есть область определения функции.

Множество всех значений, принимаемых z в области определения, называется областью значений функции z.

Геометрически функцию двух переменных можно изобразить в виде некоторой поверхности в трехмерном пространстве R³, а область определения – в виде всей плоскости хОу либо части этой плоскости (рис. 11).

z z = f (x, y)

0 у

Рис. 11

Пример 1. Найти область определения функции

Решение

Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно выполняться неравенство

Это значит, что область определения функции представляет собой полуплоскость, расположенную над прямой , причем точки, лежащие на самой прямой не принадлежат области определения (рис. 12).

0 х

Рис. 12

Построение графика самой функции в большинстве случаев достаточно затруднительно. В связи с этим оказывается удобным геометрически описывать функции 2-х переменных с помощью линий уровня.

Определение. Линией уровня функции называется множество точек плоскости хОу, в которых функция принимает одно и то же значение С, т.е.

Пример 2. Построить линии уровня функции

Решение

Придадим z несколько значений.

Пусть z = 1, – окружность с центром в точке 0 и R = 1.

При z = 2,

при z = 4, и т.д.

Очевидно, что линии уровня представляют собой концентрические окружности с центров в точке О(0;0) (рис. 13).

0 1 2 0 y

Рис.13

Функция может быть задана аналитическим, табличным, графическим, программным и другими способами.

Определение. Пусть – произвольное множество точек n -мерного пространства. Если каждой точке Р(x ₁, x ₂,..., x_n) Î D ставится в соответствие некоторое, вполне определенное, действительное число то говорят, что на множестве D задана числовая функция n переменных.

Предел и непрерывность

Определение. Число А называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для любого числа e > 0, существует такое число d > 0, что для всех точек М, удовлетворяющих условию ½ ММ ₀½ < d, выполняется неравенство

Обозначается это так:

Следует отметить, что предел функции существует, если он не зависит от пути, по которому М ® М ₀.

Все правила предельного перехода, рассмотренные для функции одной переменной, без всяких изменений переносятся на случай функции нескольких переменных.

Определение. Функция называется непрерывной в точке М ₀(х ₀; у ₀), если она

1) определена в точке М ₀(х ₀; у ₀);

2) имеет конечный предел при х ® х ₀, у ® у ₀;

3) этот предел равен значению функции в точке М ₀(х ₀, у ₀), т.е.

График непрерывной функции представляет собой сплошную, нерасслаивающуюся поверхность.

Определение. Функция называется непрерывной в данной области, если она непрерывна в каждой точке этой области.