Производная и ее приложения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента x из этого промежутка функция y=f(x) имеет определенное значение.

Рассмотрим два значения аргумента: исходное x ₀ и новое x. Разность x– x ₀называется приращением аргумента x в точке x ₀ и обозначается Δx. Таким образом, Δx = x – x ₀ (приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным). Из этого равенства следует, что x=x ₀ +Δx, т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое приращение. Тогда, если в точке x ₀ значение функции было f(x ₀ ), то в новой точке x функция будет принимать значение f(x) = f(x ₀ +Δx).

Разность y – y ₀ = f(x) – f(x ₀ ) называется приращением функции y = f(x) в точке x ₀ и обозначается символом Δy. Таким образом,

Δy = f(x) – f(x ₀ ) = f(x ₀ +Δx) - f(x ₀ ).

(1)

Обычно исходное значение аргумента x ₀ считается фиксированным, а новое значение x – переменным. Тогда y ₀ = f(x ₀ ) оказывается постоянной, а y = f(x) – переменной. Приращения Δy и Δx также будут переменными и формула (1) показывает, что Dy является функцией переменной Δx.

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента

Найдем предел этого отношения при Δx →0. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) в точке x ₀ и обозначают f '(x ₀). Итак,

Производной данной функции y = f(x) в точке x ₀ называется предел отношения приращения функции Δ y к приращению аргумента Δ x, когда последнее произвольным образом стремится к нулю.

Заметим, что для одной и той же функции производная в различных точках x может принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f '(x)

Производная обозначается символами f ' (x),y ', . Конкретное значение производной при x = a обозначается f '(a) или y ' |_x=a.

Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило:

Придать x приращение Δ x и найти наращенное значение функции f(x + Δx).
Найти приращение функции Δy = f(x + Δx) – f(x).
Составить отношение и найти предел этого отношения при Δ x ∞0.

Классификация точек разрыва функции Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;
Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов

называется скачком функции. Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 1

Исследовать функцию

на непрерывность. Решение. Данная функция не определена в точках x = − 1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точках x = ± 1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.

Поскольку левосторонний предел при x = − 1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arc — дуга).
Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку.

Функция y = arcsin x Дана функция y = sin x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arcsin x функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений — \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]. Так как для функции y = sin x на интервале \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ] каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция y = arcsin x, график которой симметричен графику функции y = sin x на отрезке \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]относительно прямой y = x.
Функция y = arccos x Дана функция y = cos x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arccos x функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения — [0;\pi]. На этом отрезке y = cos x строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке [0;\pi] существует обратная функция y =arccosx, график которой симметричен графику y = cos x на отрезке [0;\pi] относительно прямой y = x.
Функция y = arctg x Дана функция y = tg x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arctgx функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right). На этом отрезке y = tg x строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) существует обратная функция y = arctg x, график которой симметричен графику y = tgx на отрезке \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) относительно прямой y = x.
Функция y = arcctg x Дана функция y = ctg x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arcctg x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — (0;\pi). На этом отрезке y = ctg x строго возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале (0;\pi) существует обратная функция y = arcctg x, график которой симметричен графику y = ctg x на отрезке (0;\pi) относительно прямой y = x.