Известно, что для любого значение x верны равенства
sin (-x) = -sin x, cos (-x) = cos x
Следовательно, y = sin x — нечетная функция, а y = cos x — чётная функция. Так как для любого значения x из области определения функции y = tg x верно равенство tg (-x) = -tg x, то y = tg x — нечетная функция.
Известно, что для любого значения x верны равенства
sin (x + 2π) = sin x, cos (x + 2π) = cos x.
Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2π. Такие функции называются периодическими с периодом 2π.
Функция f (x) называется периодической, если существует такое число T ≠ 0, что для любого x из области определения этой функции выполняется равенство f (x - T) = f (x) = f (x + T).
Число T называется периодом функции f (x).
Из этого определения следует, что если x принадлежит области определения функции f (x), то числа x + T, x - T и вообще числа x + Tn, n Є Z, также принадлежат области определения этой периодической функции и f (x + Tn) = f (x), n Є Z
Число 2π является наименьшим положительным периодом функции y = cos x, также и для функции y = sin x.
π - наименьший положительный период функции tg x.
Функция синус
| ||||||||
Область определения функции— множество Rвсех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная.
Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно начала координат.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 π:
sin(x+2 π· k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.
sin x = 0 при x = π·k, k ∈ Z.
sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k, π+2π·k), k ∈ Z.
sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), k ∈ Z.
|
Функция косинус
| ||||||||||||||
Область определения функции— множество Rвсех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная.
Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 π:
cos(x+2 π·k) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.
|
Функция тангенс
| ||||||||||
Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная. Функция нечетная: tg(−x)=−tg x для всех х из области определения. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. tg(x+ π·k) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения.
|
Функция котангенс
| ||||||||||
Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная. Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. ctg(x+ π·k)=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения.
|
Предел функции
Понятие предела функции является одним из самых важных в математике. Дадим два определения этому понятию.
Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию | x – a | < δ, x ≠ a, выполняется неравенство | f (x) – A | < ε.
Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности 
такой, что 
сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции 
сходится к числу A.
| |
| График 1.3.6.1. Предел функции y = x 2 при x → 2. |
| |
График 1.3.6.2.
Предел функции  при x → 0.
|
Если A – предел функции в точке a, то пишут, что
|
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
| |
| График 1.3.6.3. Предел функции y = { x (x ≠ 0); 1 (x = 0)} при x → 0 равен 0. |
Предел функции 
в точке a = 0 равен 0: 
Предел функции в точке a = 0 также равен 0, хотя эта функция не существует в этой точке (ее знаменатель обращается в нуль). Предел функции 
в точке a = 0 равен 0, хотя значение функции в этой точке f (0) = 1.
Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.
Число A 1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех 
выполняется неравенство 
Число A 2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех 
выполняется неравенство 
Предел слева обозначается 
предел справа – 
Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0обычно опускают первый нуль: 
и 
. Так, для функции 
Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a, что для всех x, удовлетворяющих условию | x – a | < δ, x ≠ a, выполняется неравенство | f (x)| > ε, то говорят, что функция f (x) имеет в точке a бесконечный предел:
|
Так, функция 
имеет в точке x = 0 бесконечный предел 
Часто различают пределы, равные +∞ и –∞. Так, 
Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство | f (x) – A | < ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:
|
Аналогично формулируется определение предела при x, стремящемся к минус бесконечности: 
В качестве примера приведем функцию 
которая стремится на бесконечности к нулю: 
Наконец, запись 
означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство f (x) > ε. Запись 
означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство f (x) < –ε. Запись 
означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x < –δ выполняется неравенство f (x) < –ε.
Если функция f (x) имеет конечный предел в точке a, то существует окрестность точки a, в которой функция f ограничена (возможно, что в самой точке a функция не определена). При этом, если A ≠ 0, то найдется окрестность точки a, в которой (быть может, за исключением самой точки a) значения функции f имеют тот же знак, что и число A.
Если существует такое δ > 0, что для всех x, принадлежащих δ-окрестности точки a, выполняются неравенства
| g (x) ≤ f (x) ≤ h (x), |
и если
 ,
|
то существует 
Если существует такое δ > 0, что для всех x, принадлежащих δ-окрестности точки a, справедливо неравенство
| f (x) < g (x), |
и если 
то A ≤ B.
