Лекція № 42.
Взаємодія світла з речовиною. Дисперсія світла. Закон Бугера.
Дисперсія світла – це явище, що обумовлене залежністю показника заломлення речовини від довжини хвилі або частоти:
,
де l – довжина хвилі світла у вакуумі. Першу похідну dn/dl називають дисперсією речовини. Для прозорих безбарвних речовин графік залежності n(l) у видимій частині спектра має вигляд, показаний на малюнку. Інтервал довжин хвиль, у якому dn/dl<0, відповідає нормальної дисперсії. Ті ж інтервали довжин хвиль, де дисперсія речовини dn/dl>0, відповідають аномальної дисперсії. Усі речовини в той або іншій ступені є диспергірующими. Вакуум, як показали ретельні дослідження, дисперсією не володіє. Аналітичний вид залежності n(l) в області нормальної дисперсії для не занадто великих інтервалів довжин хвиль може бути представлений наближеною формулою: 
, де а і b - позитивні сталі, значення яких для кожної речовини визначаються з досліду.
Класична теорія дисперсії.
Дисперсію світла можна пояснити на основі електронної теорії речовини. Відомо, що в ізотропному немагнітному середовищі 
. У свою чергу e можна знайти зі співвідношення e = 1 + c, де c – діелектрична сприйнятливість, що є коефіцієнтом у співвідношенні Р = ce0Е, де Р – поляризованність, тобто дипольний момент одиниці об'єму. Таким чином:
, (1)
де Px – проекція вектора Р на вісь X, уздовж якого відбуваються коливання вектора 
. Відомо, що Рх = n0px де n0 – концентрація диполів, рх – проекція дипольного моменту окремого диполя. Розглянемо найпростішу модель речовини, що складає з не взаємодіючих один з одним атомів. Кожен атом являє собою ядро, оточене електронами, які швидко рухаються і у сукупності як би "розмазані" по сферичній симетричній області навколо ядра. Тому прийнято говорити, що ядро з зарядом q оточено "електронною хмарою" із зарядом -q. Під час відсутності зовнішнього поля центр електронної хмари збігається з ядром, і дипольний момент атома дорівнює нулю. При наявності ж зовнішнього поля електронна хмара зміщається щодо практично нерухомого ядра, і виникає дипольний момент р = ql, де q > 0, а 1 – вектор, проведений з центра "хмари" до ядра. Проекція вектора р на вісь X дорівнює 
, де х – зсув центра "хмари" з положення рівноваги, тобто відносно ядра атома. З урахуванням останнього виразу можна записати:
. (2)
Як видно, задача зводиться до визначення x(t) під дією Ex(t). Для цього запишемо рівняння руху електронної хмари як 
, де m – маса електронної хмари, а праворуч записані проекції на вісь X квазіупружної сили, сили опору, обумовленої "тертям" хмари об ядро, і змушувальної сили з боку гармонійної електромагнітної хвилі частоти w. Магнітної складової цієї сили можна знхтувати, оскільки в нерелятивістському випадку вона мізерно мала. Розділивши останнє рівняння на m, одержуємо: 
, де 
, 
, 
. Частинний розв’язок отриманого рівняння має вигляд: 
, де А – амплітуда коливань, j – різниця фаз між зсувом х і силою Fmсоswt. З теорії коливань свідчить, що амплітуда і різниця фаз визначається з виразів:
, 
. (3)
Обмежимося найпростішим випадком, коли 
, тобто коли змушувальна частота не дуже близька до власної частоти коливань електронної хмари і коефіцієнт b, що характеризує загасання, досить малий. У цьому випадку, якщо w < w0, то 
.
Підставивши останнє рівняння у (2) і враховуючи, що змушувальна сила 
, дістаємо:
, (4)
де 
, N0 – концентрація електронів, Z – число електронів в атомі. Слід зазначити, що в інтервалі частот w < w0 крива отриманої залежності погоджується з результатами експерименту.
Групова швидкість.
Строго монохроматична хвиля – це ідеалізація. Таких хвиль у природі немає. Будь-яка реальна хвиля, відповідно до теореми Фур'є, може бути представлена як суперпозиція монохроматичних хвиль з різними амплітудами і частотами w в деякому інтервалі Dw. Суперпозицію хвиль, які мало відрізняються одна від одної за частотами (Dw<<w), називають хвильовим пакетом або групою хвиль. У вакуумі всі монохроматичні хвилі, що утворять пакет, поширюються з однаковою фазовою швидкістю 
, де k – хвильове число (2p/l). З такою же швидкістю поширюється у вакуумі і сам хвильовий пакет, не змінюючи своєї форми. У диспергирующому середовищі хвильовий пакет розпливається, оскільки швидкості його монохроматичних складових відрізняються одна від одної, і поняття швидкості такої хвилі вимагає уточнення. Якщо дисперсія досить мала, розпливання хвильового пакету відбувається не занадто швидко. У цьому випадку хвильовому пакету можна надати швидкість u, з яким переміщається його центр мас. Ця швидкість називається груповою швидкістю. Відповідний розрахунок дає, що групова швидкість визначається як 
. Замінивши w через nk, дістаємо:
. (5)
Оскільки 
і 
, то вираження (5) можна переписати у вигляді: 
. Отриманий вираз називається формулою Релея. В області нормальної дисперсії (dn/dl > 0) групова швидкість u виявляється меншою, ніж фазова швидкість v. Під час відсутності дисперсії (dn/dl = 0), групова швидкість збігається з фазовою. Слід відзначити, що фазова швидкість монохроматичної хвилі не має нічого спільного зі швидкістю переносу енергії. Фазова швидкість встановлює тільки зв'язок між фазами коливань у різних точках простору. Інакше кажучи, монохроматична хвиля не може служити для передачі сигналу, оскільки вона не має ні початку, ні кінця в часі і просторі. Поширення сигналу зв'язане з переміщенням змін амплітуди, і в тих випадках, коли групова швидкість має сенс (тобто електромагнітний імпульс поширюється не розпливаючись), вона збігається зі швидкістю переносу енергії.
