Метод сопротивления материалов пластическим деформациям

В трудах Г. А. Смирнова-Аляева и его сотрудников получил развитие метод решения задач на конечное формоизменение, названный автором «сопротивление материалов пластическим деформациям».

Этот метод позволяет определять усилия и формоизменение при больших (конечных) пластических деформациях при монотонной деформации или приближенно монотонной. Монотонной деформацией называют такую, при которой соблюдаются два условия: 1) чтобы материальное волокно рассматриваемой частицы, претерпевающее в данной стадии наиболее быстрое удлинение (укорочение), во всех предшествующих стадиях также являлось наиболее быстро удлиняющиеся (укорачивающимся); 2) чтобы направляющий тензор напряжений был равен направляющему тензору деформаций и сохранял постоянную величину; при этом деформации принимают истинные (логарифмические), так как рассматривают конечные деформации:

(6.104)

При монотонной деформации главные оси напряжений сов­падают с главными осями деформаций. Поэтому между напря­жениями и истинными деформациями принимают соотношения, аналогичные соотношениям, принимаемым при малых дефор­мациях (1.83):

(6.105)

На основании выражений (6.105) и (1.87а) напишем

При малых деформациях, согласно выражению (1.87),

Следовательно,

При больших деформациях при условии монотонности

(6.106)

Связь между интенсивностью напряжений и деформаций

(6.107)

не зависит от вида (схемы) напряженного состояния. Поэтому она может быть установлена экспериментально на основании, например, опытов по растяжению.

Из опыта или из геометрических положений определяют истинные деформации , , ; затем вычисляют интенсивность деформации и напряжений , затем по уравнению (6.106)

По истинным деформациям определяют направляющие тен­зоры и , а по выражению (2.20) — коэффициент Лоде .

Для нахождения напряжений имеем два уравнения: значение тензора напряжений

и уравнение пластичности

В некоторых частных случаях сюда присоединяют дополни­тельные зависимости. Так, в случае плоского напряженного со­стояния (например, на свободной поверхности деформируемого тела) одно из напряжений равно нулю, при плоской деформации среднее по величине напряжение равно полусумме крайних.

В общем случае для нахождения напряжений необходимо присоединить к указанным двум выражениям условие равно­весия.

Рассмотрим применение метода сопротивления материалов пластическим деформациям на примере гибки-штамповки полу­обечайки из толстого листа [69].

При достаточно большой длине листа по сравнению с толщи­ной деформация в направлении образующей обечайки равна нулю — деформация плоская. Следовательно, среднее напряже­ние (в направлении образующей) равно полусумме крайних,

= 0 и = 1,15.

Среднее по величине напряжение

На наружной поверхности обечайки напряжение , нормаль­ное к поверхности, равно нулю. Следовательно, тангенциальное напряжение

На внутренней поверхности радиальное напряжение не будет равно нулю; оно равно давлению пуансона р, т. е.

Уравнение пластичности

или

Из выражения для направляющего тензора, равного нулю, получаем:

Для нахождения удельного давления пуансона на внутрен­нюю поверхность обечайки нужно использовать условие равно­весия.

В изгибаемом штамповкой листе в тангенциальном направ­лении появляются только растягивающие напряжения, лист об­тягивается по пуансону. Вместе с наружными волокнами в тан­генциальном направлении растягиваются также и внутренние. Наряду с изгибом лист подвергается растяжению силами Р\, приложенными к боковым кромкам листа.

Силу Р, приложенную к пуансону, при условии полного об­хвата пуансона по полуокружности можно определить по фор­муле

(6.108) где L — длина листа; h — толщина листа.

Удельное давление пуансона на обечайку

(6.109)

где R —■ радиус пуансона.

Метод сопротивления материалов пластическим деформаци­ям использует также экспериментально устанавливаемую зави­симость интенсивности напряжения и деформаций от удельной работы деформации:

(6.110а) (6.110б) и, учитывая уравнение (6.106),

(6.110в)

Используя зависимости (6.110), можно определить напря­женно-деформированное состояние в выделенном объеме тела, относительно которого деформацию можно принять монотонной.