В трудах Г. А. Смирнова-Аляева и его сотрудников получил развитие метод решения задач на конечное формоизменение, названный автором «сопротивление материалов пластическим деформациям».
Этот метод позволяет определять усилия и формоизменение при больших (конечных) пластических деформациях при монотонной деформации или приближенно монотонной. Монотонной деформацией называют такую, при которой соблюдаются два условия: 1) чтобы материальное волокно рассматриваемой частицы, претерпевающее в данной стадии наиболее быстрое удлинение (укорочение), во всех предшествующих стадиях также являлось наиболее быстро удлиняющиеся (укорачивающимся); 2) чтобы направляющий тензор напряжений 
был равен направляющему тензору деформаций 
и сохранял постоянную величину; при этом деформации принимают истинные (логарифмические), так как рассматривают конечные деформации:
(6.104)
При монотонной деформации главные оси напряжений совпадают с главными осями деформаций. Поэтому между напряжениями и истинными деформациями принимают соотношения, аналогичные соотношениям, принимаемым при малых деформациях (1.83):
(6.105)
На основании выражений (6.105) и (1.87а) напишем
При малых деформациях, согласно выражению (1.87),
Следовательно,
 |
При больших деформациях при условии монотонности
(6.106)
Связь между интенсивностью напряжений и деформаций
(6.107)
не зависит от вида (схемы) напряженного состояния. Поэтому она может быть установлена экспериментально на основании, например, опытов по растяжению.
Из опыта или из геометрических положений определяют истинные деформации 
, 
, 
; затем вычисляют интенсивность деформации 
и напряжений 
, затем по уравнению (6.106)
По истинным деформациям определяют направляющие тензоры 
и 
, а по выражению (2.20) — коэффициент Лоде 
.
Для нахождения напряжений имеем два уравнения: значение тензора напряжений
и уравнение пластичности
В некоторых частных случаях сюда присоединяют дополнительные зависимости. Так, в случае плоского напряженного состояния (например, на свободной поверхности деформируемого тела) одно из напряжений равно нулю, при плоской деформации среднее по величине напряжение равно полусумме крайних.
В общем случае для нахождения напряжений необходимо присоединить к указанным двум выражениям условие равновесия.
Рассмотрим применение метода сопротивления материалов пластическим деформациям на примере гибки-штамповки полуобечайки из толстого листа [69].
При достаточно большой длине листа по сравнению с толщиной деформация в направлении образующей обечайки равна нулю — деформация плоская. Следовательно, среднее напряжение (в направлении образующей) равно полусумме крайних,
= 0 и 
= 1,15.
|
| Среднее по величине напряжение |
|
На наружной поверхности обечайки напряжение 
, нормальное к поверхности, равно нулю. Следовательно, тангенциальное напряжение
На внутренней поверхности радиальное напряжение 
не будет равно нулю; оно равно давлению пуансона р, т. е.
Уравнение пластичности
или
Из выражения для направляющего тензора, равного нулю, получаем:
Для нахождения удельного давления пуансона на внутреннюю поверхность обечайки нужно использовать условие равновесия.
В изгибаемом штамповкой листе в тангенциальном направлении появляются только растягивающие напряжения, лист обтягивается по пуансону. Вместе с наружными волокнами в тангенциальном направлении растягиваются также и внутренние. Наряду с изгибом лист подвергается растяжению силами Р\, приложенными к боковым кромкам листа.
Силу Р, приложенную к пуансону, при условии полного обхвата пуансона по полуокружности можно определить по формуле
(6.108) где L — длина листа; h — толщина листа.
Удельное давление пуансона на обечайку
(6.109)
где R —■ радиус пуансона.
Метод сопротивления материалов пластическим деформациям использует также экспериментально устанавливаемую зависимость интенсивности напряжения и деформаций от удельной работы деформации:
(6.110а) 
(6.110б) и, учитывая уравнение (6.106),
(6.110в)
Используя зависимости (6.110), можно определить напряженно-деформированное состояние в выделенном объеме тела, относительно которого деформацию можно принять монотонной.
