Метод решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности 4 страница

(6.79)

(6.80)

Работу внутренних сил в условиях плоской деформации можно выразить так:

(6.81)

Работа внешних сил на возможных перемещениях равна ра­боте сил трения на возможных перемещениях, т. е.

(6.82)

Работа активных сил на возможных перемещениях равна

(6.83)

и, согласно началу возможных перемещении

(6.84)

Если выразить и и Г по Ритцу через подходящие функции, то уравнение (6.84) после сокращения на k примет вид:

(6.85)

Выберем подходящие функции для перемещений ..и ; пе­ремещение при плоской деформации равно нулю.

При осадке с трением деформация является неравномерной. Из рис. 86 видно, что горизонтальные сечения в результате де­формации получают прогиб, имеющий максимальное значение у контактных поверхностей и затухающий по мере удаления от них. Примем, что горизонтальные сечения имеют параболиче­скую форму. Вертикальные сечения также изгибаются, прибли­жаясь по форме к параболе.

Таким образом, перемещение и выражено с помощью двух варьируемых параметров.

Определим деформации согласно выражению (1.56):

Определим вертикальное перемещение:

Произвольную функцию f(x) определим из граничных ус­ловий (при z = 0, = 0):•

/(х) = 0.

Следовательно,

Из уравнения (6.88) можно сразу определить значение пара­метра : при , т. е. на контактной поверхности:

Отсюда

и

(6.90)

т. е. а_х равно относительному обжатию.

Для определения параметра а₂ нужно решить второе урав­нение (6.85).

Вычислим первое слагаемое этого уравнения, представляю­щее собой производную работы контактного трения по парамет­ру , деленную на k. Определим значение из уравне­ния (6.86) с учетом уравнения (6.90):

(6.91)

Подставим уравнение (6.91) в первое слагаемое второго уравнения (6.85);

(6.92)

 

Вычислим второе слагаемое уравнения (6.85), представляю­щее производную внутренних сил по параметру а₂, деленную на k:

(6.93)

 

Для этого вычислим значение интенсивности деформаций сдви­га Г. При плоской деформации, когда = 0, имеем = = = 0, = ; из уравнения (6.71) получаем

(6.94)

 

Подставив в это выражение значения и из уравнения (6.87) и (6.89), находим

(6.95)

дифференцируем его по а2:

 

 

Интегрирование уравнения (6.93) после подстановки в него из выражения (6.95) значения Г, являющегося корнем квадрат­ным из многочлена, невозможно. Поэтому применим следующий прием приближенного решения. Обозначим

(6.96)

 

 

Заменим 2Г в знаменателе уравнения (6.96) средней вели­чиной 2Г_С и вынесем за знак интеграла в выражение (6.93). Среднее значение интенсивности деформаций сдвига, как пока­зали расчеты [57], близко к значению интенсивности деформа­ций сдвига при равномерной деформации. При равномерной деформации оси х и z являются главными, равно нулю и из выражения (6.94), подставив вместо значение , получаем

Тогда уравнение (6.93) можно представить так:

(6.97)

После дифференцирования Г² из выражения (6.95) по а₂, интегрирования уравнения (6.97) и некоторых преобразований находим

(6.98)

Подставим в уравнение (6.85) значения слагаемых из выражений (6.92) и (6.98):

Отсюда определяем параметр

(6.99)

Значение коэффициента а, характеризующего влияние тре­ния, И. Я- Тарновский на основании экспериментальных данных рекомендует определить по эмпирической формуле

(6.100)

где f — коэффициент трения.

Таким образом, зная размеры полосы ( и ), обжатие и коэффициент трения f, можно определить значение парамет­ров и . Подставив значения этих параметров в уравнения (6.86), (6.87) и (6.88), определяем перемещения и деформации в любой точке сечения полосы.

Для определения формы боковой поверхности (бочкообраз-ности) определим половину ширины полосы после деформации на контакте, т. е. при z = h и х •= b, по уравнению (6.86)

и ширину на середине высоты полосы, т. е. при

Используя уравнения равновесия, уравнения связи между напряжениями и деформациями в граничные условия, можно определить напряжения в каждой точке тела [15, 57].

Полное усилие осадки на единицу длины и половину шири­ны определим из уравнения (6.81)

 

(6.81а)

Первый интеграл, представляющий работу деформации, с учетом уравнения (6.96) представим так:

После подстановки значения Г² из выражения (6.95) и ин­тегрирования получаем

(6.101)

Второй интеграл в уравнении (6.81а), представляющий работу сил трения, решим, подставив значение u_z== к из уравне­ния (6.91):

После интегрирования находим

(6.102)

Подставив в уравнение (6.81а) значение из выражения (6.101) и из уравнения (6.102), получаем значение полного усилия на единицу длины полосы-. Разделив полное усилие на

находим значение половину ширины b и заменив k на

(6.103)

На рис. 115 графически представлена зависимость отноше­ния удельного давления к сопротивлению деформации в зави­симости от формы сечения (отношения 1 при различных коэффициентах трения. Из сравнения этого рисунка с рис. 112 видно, что результаты расчетов по методу решения прибли­женных уравнений равновесия и уравнения пластичности и по вариационномуметоду близки между собой при значениях